与えられた式 $(a+b)^2(a-b)^2(a^4+a^2b^2+b^4)^2$ を展開して簡単にします。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b)^2(a-b)^2(a^4+a^2b^2+b^4)^2$ を展開して簡単にします。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b)^2(a-b)^2$ の部分を簡単にします。

$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ なので、

$(a+b)^2(a-b)^2 = ((a+b)(a-b))^2 = (a^2-b^2)^2$

$(a^2-b^2)^2 = (a^2)^2 - 2(a^2)(b^2) + (b^2)^2 = a^4 - 2a^2b^2 + b^4$

次に、$(a^4+a^2b^2+b^4)^2$ を展開します。

$(a^4+a^2b^2+b^4)^2 = (a^4+a^2b^2+b^4)(a^4+a^2b^2+b^4)$

$= a^8 + a^6b^2 + a^4b^4 + a^6b^2 + a^4b^4 + a^2b^6 + a^4b^4 + a^2b^6 + b^8$

$= a^8 + 2a^6b^2 + 3a^4b^4 + 2a^2b^6 + b^8$

したがって、与えられた式は

$(a^4 - 2a^2b^2 + b^4)(a^8 + 2a^6b^2 + 3a^4b^4 + 2a^2b^6 + b^8)$

となります。ここで、$x = a^2, y = b^2$ と置くと、

$(x^2 - 2xy + y^2)(x^4 + 2x^3y + 3x^2y^2 + 2xy^3 + y^4)$

さらに、$a^4+a^2b^2+b^4 = \frac{(a^2)^3-(b^2)^3}{a^2-b^2} = \frac{a^6-b^6}{a^2-b^2}$

と変形できることを利用します。

$(a^2-b^2)(a^4+a^2b^2+b^4) = a^6 - b^6$

よって、$(a^2-b^2)^2(a^4+a^2b^2+b^4)^2 = (a^6-b^6)^2 = (a^6)^2 - 2a^6b^6 + (b^6)^2 = a^{12} - 2a^6b^6 + b^{12}$

3. 最終的な答え

$a^{12} - 2a^6b^6 + b^{12}$