次の4つの球の方程式を求めます。 (1) 中心が $(2, 4, -3)$ で、半径が $\sqrt{5}$ の球。 (2) 中心が原点で、点 $(3, -2, 1)$ を通る球。 (3) 中心が $(-2, 1, 5)$ で、点 $(1, 0, 4)$ を通る球。 (4) 2点 $(2, -5, 3)$ と $(4, 3, 1)$ を直径の両端とする球。

1. 問題の内容

次の4つの球の方程式を求めます。

(1) 中心が $(2, 4, -3)$ で、半径が $\sqrt{5}$ の球。

(2) 中心が原点で、点 $(3, -2, 1)$ を通る球。

(3) 中心が $(-2, 1, 5)$ で、点 $(1, 0, 4)$ を通る球。

(4) 2点 $(2, -5, 3)$ と $(4, 3, 1)$ を直径の両端とする球。

2. 解き方の手順

(1) 中心 $(a, b, c)$、半径 $r$ の球の方程式は、

$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2$

これに、中心 $(2, 4, -3)$、半径 $\sqrt{5}$ を代入します。

$(x - 2)^2 + (y - 4)^2 + (z + 3)^2 = (\sqrt{5})^2$

$(x - 2)^2 + (y - 4)^2 + (z + 3)^2 = 5$

(2) 中心が原点 $(0, 0, 0)$ で、点 $(3, -2, 1)$ を通る球の半径 $r$ は、原点と $(3, -2, 1)$ の距離に等しくなります。

$r = \sqrt{(3 - 0)^2 + (-2 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}$

よって、球の方程式は、

$x^2 + y^2 + z^2 = (\sqrt{14})^2$

$x^2 + y^2 + z^2 = 14$

(3) 中心が $(-2, 1, 5)$ で、点 $(1, 0, 4)$ を通る球の半径 $r$ は、中心と $(1, 0, 4)$ の距離に等しくなります。

$r = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (0 - 1)^2 + (4 - 5)^2} = \sqrt{(1 + 2)^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{3^2 + 1 + 1} = \sqrt{9 + 1 + 1} = \sqrt{11}$

よって、球の方程式は、

$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 5)^2 = (\sqrt{11})^2$

$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 5)^2 = 11$

(4) 2点 $(2, -5, 3)$ と $(4, 3, 1)$ を直径の両端とする球の中心は、2点の中点です。

中心の座標は、

$(\frac{2 + 4}{2}, \frac{-5 + 3}{2}, \frac{3 + 1}{2}) = (\frac{6}{2}, \frac{-2}{2}, \frac{4}{2}) = (3, -1, 2)$

半径 $r$ は、中心と $(2, -5, 3)$ の距離に等しくなります。

$r = \sqrt{(2 - 3)^2 + (-5 - (-1))^2 + (3 - 2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 16 + 1} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

よって、球の方程式は、

$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = (3\sqrt{2})^2$

$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = 18$

3. 最終的な答え

(1) $(x - 2)^2 + (y - 4)^2 + (z + 3)^2 = 5$

(2) $x^2 + y^2 + z^2 = 14$

(3) $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 5)^2 = 11$

(4) $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = 18$