長方形ABCDがあり、点Aは直線 $y = 2x + 1$ 上に、点Dは直線 $y = -x + 10$ 上にある。以下の4つの問いに答える。 (1) 2直線 $y = 2x + 1$ と $y = -x + 10$ の交点Pの座標を求める。 (2) 点Bのx座標が2のとき、交点Pを通り長方形ABCDの面積を2等分する直線の式を求める。 (3) 点Bのx座標がtのとき、長方形ABCDが正方形になるtの値を求める。 (4) 点Bのx座標がtのとき、長方形ABCDの面積が18になるtの値を求める。

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、点Aは直線 $y = 2x + 1$ 上に、点Dは直線 $y = -x + 10$ 上にある。以下の4つの問いに答える。

(1) 2直線 $y = 2x + 1$ と $y = -x + 10$ の交点Pの座標を求める。

(2) 点Bのx座標が2のとき、交点Pを通り長方形ABCDの面積を2等分する直線の式を求める。

(3) 点Bのx座標がtのとき、長方形ABCDが正方形になるtの値を求める。

(4) 点Bのx座標がtのとき、長方形ABCDの面積が18になるtの値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2直線の交点Pの座標を求める。

連立方程式を解く。

$y = 2x + 1$

$y = -x + 10$

2つの式を連立させて、$2x + 1 = -x + 10$ を解く。

$3x = 9$

$x = 3$

$x = 3$ を $y = 2x + 1$ に代入すると、$y = 2(3) + 1 = 7$

よって、交点Pの座標は $(3, 7)$。

(2) 点Bのx座標が2のとき、長方形ABCDの面積を2等分する直線を求める。

点Bのx座標が2なので、点Aのx座標も2である。

点Aは $y = 2x + 1$ 上にあるので、点Aの座標は $(2, 2(2) + 1) = (2, 5)$。

長方形ABCDの面積を2等分する直線は、長方形の中心を通る。

点Cのx座標は点Dのx座標に等しい。点Dは $y = -x + 10$ 上にある。

点Bのy座標は0である。点Bの座標は(2,0)

点Dのy座標は点Aのy座標に等しいので、5である。

$5 = -x + 10$ を解くと、$x = 5$。よって、点Dの座標は $(5, 5)$。

点Cのx座標は5、点Cのy座標は0なので、点Cの座標は $(5, 0)$。

長方形の中心Mの座標は、$(\frac{2+5}{2}, \frac{5+0}{2}) = (\frac{7}{2}, \frac{5}{2})$。

交点P $(3, 7)$ を通り、点M $(\frac{7}{2}, \frac{5}{2})$ を通る直線の式を求める。

傾き $m = \frac{7 - \frac{5}{2}}{3 - \frac{7}{2}} = \frac{\frac{9}{2}}{-\frac{1}{2}} = -9$

直線の式は $y - 7 = -9(x - 3)$

$y = -9x + 27 + 7$

$y = -9x + 34$

(3) 点Bのx座標がtのとき、長方形ABCDが正方形になるtの値を求める。

点Bの座標は $(t, 0)$。

点Aの座標は $(t, 2t + 1)$。

点Dは直線 $y = -x + 10$ 上にあり、点Dのy座標は点Aのy座標と等しいので、$2t + 1 = -x + 10$。

$x = 10 - 2t - 1 = 9 - 2t$。

点Dの座標は $(9 - 2t, 2t + 1)$。

長方形ABCDが正方形なので、$AB = BC$ が成り立つ。

$AB = 2t + 1$

$BC = |9 - 2t - t| = |9 - 3t|$

$2t + 1 = |9 - 3t|$

(i) $2t + 1 = 9 - 3t$ のとき

$5t = 8$

$t = \frac{8}{5}$

(ii) $2t + 1 = -(9 - 3t)$ のとき

$2t + 1 = -9 + 3t$

$t = 10$

$t = \frac{8}{5}$のとき、点Aの座標は $(\frac{8}{5}, \frac{21}{5})$、点Dの座標は $(\frac{29}{5}, \frac{21}{5})$。

$t = 10$のとき、点Aの座標は $(10, 21)$、点Dの座標は $(-11, 21)$。

t > 0より、どちらも条件を満たす。

図から $t < 5$ なので、$t = 8/5$が答え。

(4) 点Bのx座標がtのとき、長方形ABCDの面積が18になるtの値を求める。

$AB = 2t + 1$

$BC = 9 - 3t$

面積は $(2t + 1)(9 - 3t) = 18$

$18t - 6t^2 + 9 - 3t = 18$

$-6t^2 + 15t - 9 = 0$

$2t^2 - 5t + 3 = 0$

$(2t - 3)(t - 1) = 0$

$t = \frac{3}{2}$ または $t = 1$

3. 最終的な答え

(1) P $(3, 7)$

(2) $y = -9x + 34$

(3) $t = \frac{8}{5}$

(4) $t = \frac{3}{2}, 1$