与えられた2つの対称行列を直交行列によって対角化する問題です。各行列の固有値は既に与えられています。

1. 問題の内容

与えられた2つの対称行列を直交行列によって対角化する問題です。各行列の固有値は既に与えられています。

2. 解き方の手順

(1)

与えられた行列をAとする。固有値は0, 1, 3である。

まず、各固有値に対応する固有ベクトルを求める。

固有値0に対する固有ベクトル：

$(A - 0I)v = 0$を解く。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

この連立一次方程式を解くと、$x = z$、$y = -z$となる。したがって、固有ベクトルは$\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$の定数倍となる。

固有値1に対する固有ベクトル：

$(A - 1I)v = 0$を解く。

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

この連立一次方程式を解くと、$z = 0$、$-x + y + z = 0$から$x = y$となる。したがって、固有ベクトルは$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$の定数倍となる。

固有値3に対する固有ベクトル：

$(A - 3I)v = 0$を解く。

$\begin{pmatrix} -2 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

この連立一次方程式を解くと、$-2x - z = 0$、$-2y + z = 0$、$-x + y - z = 0$となる。したがって、$z = -2x$、$z = 2y$、$y = x$となり、 $-x + x + 2x = 0$より、$z = -2x$, $y=-x$. 固有ベクトルは$\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}$の定数倍となる。

求めた固有ベクトルを正規化する。

$\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$のノルムは$\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$

$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$のノルムは$\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$

$\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}$のノルムは$\sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{6}$

したがって、正規化された固有ベクトルはそれぞれ$\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$、$\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$、$\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}$となる。

直交行列Pはこれらの正規化された固有ベクトルを列ベクトルとして持つ。

$P = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ -\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}$

(2)

与えられた行列をAとする。固有値は1, 4である。

固有値1に対する固有ベクトル：

$(A - 1I)v = 0$を解く。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x+y-z = 0$となる。$z = x+y$. よって固有ベクトルは$\begin{pmatrix} x \\ y \\ x+y \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$で表される。$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$と$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$は互いに直交しないので、グラムシュミットの直交化法を用いて直交化する。

$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

$v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/2 \\ 1 \\ 1/2 \end{pmatrix}$

$v_2$を2倍して$\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$とする。

固有値4に対する固有ベクトル：

$(A - 4I)v = 0$を解く。

$\begin{pmatrix} -2 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & -1 \\ -1 & -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-2x + y - z = 0$、 $x - 2y - z = 0$、 $-x - y - 2z = 0$

最初の2つの式から $-2x+y = x-2y \Rightarrow 3y = 3x \Rightarrow x=y$.

$-x - x - 2z = 0 \Rightarrow z = -x$.

したがって固有ベクトルは$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$の定数倍となる。

正規化する。

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$のノルムは$\sqrt{2}$

$\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$のノルムは$\sqrt{6}$

$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$のノルムは$\sqrt{3}$

したがって、正規化された固有ベクトルはそれぞれ$\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$、$\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$、$\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$となる。

直交行列Pはこれらの正規化された固有ベクトルを列ベクトルとして持つ。

$P = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1)

$P = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ -\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}$

(2)

$P = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$