2つの曲線 $y = (x+2)(x-4)$ と $y = 2(x-a)^2 - 1$ が接するときの $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの曲線 $y = (x+2)(x-4)$ と $y = 2(x-a)^2 - 1$ が接するときの $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2つの曲線を連立して、$x$ についての方程式を作ります。

$(x+2)(x-4) = 2(x-a)^2 - 1$

$x^2 - 2x - 8 = 2(x^2 - 2ax + a^2) - 1$

$x^2 - 2x - 8 = 2x^2 - 4ax + 2a^2 - 1$

$0 = x^2 - 4ax + 2x + 2a^2 + 7$

$x^2 - (4a-2)x + (2a^2 + 7) = 0$

2つの曲線が接するということは、この $x$ についての二次方程式が重解を持つということです。つまり、判別式 $D = 0$ となるはずです。

判別式 $D$ は、

$D = (4a-2)^2 - 4(2a^2 + 7)$

$D = 16a^2 - 16a + 4 - 8a^2 - 28$

$D = 8a^2 - 16a - 24$

$D = 0$ より、

$8a^2 - 16a - 24 = 0$

$a^2 - 2a - 3 = 0$

$(a-3)(a+1) = 0$

$a = 3, -1$

3. 最終的な答え

$a = -1, 3$