2次方程式 $ax^2 + 8ax + 4 = 0$ が、$1 \le x \le 3$ の範囲に実数解を持つような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $ax^2 + 8ax + 4 = 0$ が、$1 \le x \le 3$ の範囲に実数解を持つような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a = 0$ のとき、与えられた方程式は $4 = 0$ となり、これは $x$ の値に関わらず成り立たないので、$a \ne 0$ である。

したがって、与えられた方程式は2次方程式である。

$f(x) = ax^2 + 8ax + 4$ とおきます。

(1) $f(x) = 0$ が実数解を持つ条件は、判別式 $D \ge 0$ であることです。

$D/4 = (4a)^2 - a(4) = 16a^2 - 4a = 4a(4a - 1) \ge 0$

したがって、$a \le 0$ または $a \ge \frac{1}{4}$

(2) $1 \le x \le 3$ の範囲に少なくとも1つの実数解を持つ条件を考えます。

まず、軸を求めると $x = -4$ です。

$f(1)f(3) \le 0$ を考えると、$f(1) = a + 8a + 4 = 9a + 4$、$f(3) = 9a + 24a + 4 = 33a + 4$

$(9a + 4)(33a + 4) \le 0$ より、$-\frac{4}{9} \le a \le -\frac{4}{33}$

しかし、$a=0$は除外する必要があるため、$a \le 0$ または $a \ge \frac{1}{4}$ という条件を考慮に入れると、$-\frac{4}{9} \le a \le -\frac{4}{33}$の範囲は条件を満たします。

$f(1) = 0$ または $f(3) = 0$となる場合も解を持つので確認します。

$f(1) = 0$ のとき $9a + 4 = 0$ より $a = -\frac{4}{9}$

$f(3) = 0$ のとき $33a + 4 = 0$ より $a = -\frac{4}{33}$

$a \le 0$ または $a \ge \frac{1}{4}$ を考慮すると、実数解を持つような $a$ の範囲は $-\frac{4}{9} \le a \le -\frac{4}{33}$ です。

3. 最終的な答え

$-\frac{4}{9} \le a \le -\frac{4}{33}$

したがって、$\frac{12}{3} \le a \le \frac{45}{67}$ に当てはめると

$\frac{-4}{9} \le a \le \frac{-4}{33}$ となる

最終的な答え：

-4/9 $\le a \le$ -4/33

または

-4/33 $\le a \le$ -4/9