関数 $f(x) = -2x^2 + 4ax - 3a$ (定義域 $0 \le x \le 2$) の最大値が $5$ であるとき、定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -2x^2 + 4ax - 3a$ (定義域 $0 \le x \le 2$) の最大値が $5$ であるとき、定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = -2(x^2 - 2ax) - 3a$

$f(x) = -2(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) - 3a$

$f(x) = -2(x - a)^2 + 2a^2 - 3a$

したがって、放物線の頂点の座標は $(a, 2a^2 - 3a)$ である。

次に、頂点の位置によって場合分けを行う。

(i) $a < 0$ のとき、定義域 $0 \le x \le 2$ において $f(x)$ は減少関数であるから、$x=0$ で最大値をとる。

$f(0) = -2(0)^2 + 4a(0) - 3a = -3a = 5$

$a = -\frac{5}{3}$

これは $a < 0$ を満たす。

(ii) $0 \le a \le 2$ のとき、$x = a$ で最大値をとる。

$f(a) = 2a^2 - 3a = 5$

$2a^2 - 3a - 5 = 0$

$(2a - 5)(a + 1) = 0$

$a = \frac{5}{2}, -1$

$0 \le a \le 2$ を満たすものは $a = \frac{5}{2}$は範囲外。$a=-1$は範囲外。

(iii) $a > 2$ のとき、定義域 $0 \le x \le 2$ において $f(x)$ は増加関数であるから、$x=2$ で最大値をとる。

$f(2) = -2(2)^2 + 4a(2) - 3a = -8 + 8a - 3a = 5a - 8 = 5$

$5a = 13$

$a = \frac{13}{5}$

これは $a > 2$ を満たす。なぜなら、$a=13/5=2.6>2$だから。

したがって、$a=-\frac{5}{3}$と$a=\frac{13}{5}$が答えの候補となる。

$a=-\frac{5}{3}$の場合：

$f(x) = -2x^2 + 4(-\frac{5}{3})x - 3(-\frac{5}{3}) = -2x^2 -\frac{20}{3}x + 5$

定義域は$0 \le x \le 2$。頂点のx座標は$x=a=-\frac{5}{3}<0$より、$f(x)$は減少関数。

よって最大値は$x=0$のときで、$f(0) = 5$となる。

$a=\frac{13}{5}$の場合：

$f(x) = -2x^2 + 4(\frac{13}{5})x - 3(\frac{13}{5}) = -2x^2 +\frac{52}{5}x - \frac{39}{5}$

定義域は$0 \le x \le 2$。頂点のx座標は$x=a=\frac{13}{5}=2.6>2$より、$f(x)$は増加関数。

よって最大値は$x=2$のときで、$f(2) = -2(2^2)+\frac{52}{5}(2) - \frac{39}{5} = -8 + \frac{104}{5} - \frac{39}{5} = -8 + \frac{65}{5} = -8+13 = 5$となる。

$a = -\frac{5}{3}$ の場合、最大値は $f(0)=5$ である。

$a = \frac{13}{5}$ の場合、最大値は $f(2)=5$ である。

3. 最終的な答え

$a = -\frac{5}{3}, \frac{13}{5}$