2つの曲線 $y = (x-1)(x+3)$ と $y = -(x-a)^2 - 2$ が接するときの $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

2つの曲線 $y = (x-1)(x+3)$ と $y = -(x-a)^2 - 2$ が接するときの $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = (x-1)(x+3)$ を展開して整理する。

$y = x^2 + 3x - x - 3 = x^2 + 2x - 3$

次に、$y = -(x-a)^2 - 2$ を展開して整理する。

$y = -(x^2 - 2ax + a^2) - 2 = -x^2 + 2ax - a^2 - 2$

2つの曲線が接するということは、2つの式を連立して得られる二次方程式が重解を持つということである。

$x^2 + 2x - 3 = -x^2 + 2ax - a^2 - 2$

移項して整理する。

$2x^2 + (2-2a)x + (a^2 - 1) = 0$

この二次方程式が重解を持つためには、判別式 $D$ が $0$ である必要がある。

$D = (2-2a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a^2 - 1) = 0$

$4 - 8a + 4a^2 - 8a^2 + 8 = 0$

$-4a^2 - 8a + 12 = 0$

$a^2 + 2a - 3 = 0$

$(a+3)(a-1) = 0$

よって、$a = -3, 1$

3. 最終的な答え

$a = -3, 1$