数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 2$、$a_{n+1} = \frac{4a_n + 1}{2a_n + 3}$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) で定義される。 (1) $b_n = \frac{a_n + \beta}{a_n + \alpha}$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) とおくとき、数列 $\{b_n\}$ が等比数列となるような $\alpha, \beta$ ($\alpha > \beta$) を1組求めよ。 (2) 一般項 $a_n$ を求めよ。 (3) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k - 1}$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 2$、$a_{n+1} = \frac{4a_n + 1}{2a_n + 3}$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) で定義される。

(1) $b_n = \frac{a_n + \beta}{a_n + \alpha}$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) とおくとき、数列 $\{b_n\}$ が等比数列となるような $\alpha, \beta$ ($\alpha > \beta$) を1組求めよ。

(2) 一般項 $a_n$ を求めよ。

(3) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k - 1}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $b_{n+1} = \frac{a_{n+1} + \beta}{a_{n+1} + \alpha}$ とおく。数列 $\{b_n\}$ が等比数列となるためには、ある定数 $r$ に対して $b_{n+1} = r b_n$ が成り立つ必要がある。

$b_{n+1} = \frac{\frac{4a_n + 1}{2a_n + 3} + \beta}{\frac{4a_n + 1}{2a_n + 3} + \alpha} = \frac{4a_n + 1 + \beta(2a_n + 3)}{4a_n + 1 + \alpha(2a_n + 3)} = \frac{(4+2\beta)a_n + 1 + 3\beta}{(4+2\alpha)a_n + 1 + 3\alpha}$

$b_n = \frac{a_n + \beta}{a_n + \alpha}$ より、 $b_{n+1} = r b_n$ となるためには、

$\frac{(4+2\beta)a_n + 1 + 3\beta}{(4+2\alpha)a_n + 1 + 3\alpha} = r \frac{a_n + \beta}{a_n + \alpha}$

$(4+2\beta)a_n + 1 + 3\beta = r \frac{(4+2\alpha)a_n + 1 + 3\alpha}{a_n + \alpha} (a_n + \beta)$

$(4+2\beta)a_n + 1 + 3\beta = r \frac{(4+2\alpha)a_n^2 + (1+3\alpha+4\beta+2\alpha\beta)a_n + \beta+3\alpha\beta}{a_n + \alpha}$

$b_{n+1} = r b_n$ が成り立つためには、$\frac{4+2\beta}{1+3\beta} = \frac{4+2\alpha}{1+3\alpha} = r$ となれば良い。

$\frac{4+2\beta}{1+3\beta} = r$, $\frac{4+2\alpha}{1+3\alpha} = r$

$r = \frac{4+2\beta}{1+3\beta} = \frac{4+2\alpha}{1+3\alpha}$

$(4+2\beta)(1+3\alpha)=(4+2\alpha)(1+3\beta)$

$4 + 12\alpha + 2\beta + 6\alpha\beta = 4 + 12\beta + 2\alpha + 6\alpha\beta$

$12\alpha + 2\beta = 12\beta + 2\alpha$

$10\alpha = 10\beta$

$\alpha = \beta$ となり矛盾する。

$b_{n+1} = r b_n$ を変形して、

$\frac{a_{n+1} + \beta}{a_{n+1} + \alpha} = r \frac{a_n + \beta}{a_n + \alpha}$

$\frac{a_{n+1} + \beta}{a_n + \beta} \frac{a_n + \alpha}{a_{n+1} + \alpha} = r$

$\frac{\frac{4a_n + 1}{2a_n + 3} + \beta}{a_n + \beta} \frac{a_n + \alpha}{\frac{4a_n + 1}{2a_n + 3} + \alpha} = r$

$\frac{4a_n + 1 + 2a_n \beta + 3\beta}{a_n + \beta} \frac{a_n + \alpha}{4a_n + 1 + 2a_n \alpha + 3\alpha} = r (2a_n + 3)/(2a_n + 3)$

$\frac{(2\beta + 4)a_n + 3\beta + 1}{(a_n + \beta)(2\alpha + 4) a_n + 3\alpha + 1} (a_n + \alpha) = r$

$\frac{2(2+\beta)}{2(2+\alpha)} = r$

$\frac{2+\beta}{2+\alpha} = r$

$\alpha$と$\beta$は$x^2 + x - 2 = 0$の解である.

$(\alpha-\beta)^2 = (\alpha+\beta)^2 - 4 \alpha\beta = 1 + 8 = 9$

$\alpha - \beta = 3$

$\alpha + \beta = -1$

$2\alpha = 2, \alpha = 1$

$2\beta = -4, \beta = -2$

$\alpha = 1, \beta = -2$

(2) $b_n = \frac{a_n - 2}{a_n + 1}$. $b_{n+1} = \frac{2-2}{2+1}=0$. $a_n = \frac{-a b_n - \beta}{b_n - 1}=3 b_n$. $\frac{a_{n+1}-2}{a_{n+1}+1} = r\frac{a_n - 2}{a_n + 1}$ より、$b_{n+1}=\frac{\frac{4a_n+1}{2a_n+3}-2}{\frac{4a_n+1}{2a_n+3}+1}=\frac{4a_n+1-4a_n-6}{4a_n+1+2a_n+3}=\frac{-5}{6a_n+4}$

$b_1 = \frac{a_1 - 2}{a_1 + 1} = \frac{2-2}{2+1} = 0$.

$b_2 = \frac{-5}{6(2)+4}=\frac{-5}{16}$.

$\frac{a_1 + (-2)}{a_1 + (1)}$.

(3) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k - 1}$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha=1, \beta=-2$

(2) $a_n=\frac{3*(\frac{-5}{4})^{n-1}+2}{1-(\frac{-5}{4})^{n-1}}$

(3) $\frac{2n}{3} - \frac{2(1-(-5/4)^n}{9/(9/4}$

(1) $\alpha=1, \beta=-2$.

(2) $b_{n+1}= \frac{a_{n+1}-2}{a_{n+1}+1}= \frac{-5}{2(3a_n+2)}.$

$a_n=\frac{3(-1)^n}{(\frac{-5}{4})^{n-1}-1}-1.$

$\alpha = 1, \beta=-2$

Final Answer: The final answer is $\boxed{(1) α=1, β=-2}$