与えられた行列 $A$, $B$, $c$ に対して、(i) $AB$, (ii) $^t c B$, (iii) $B \, ^tA$ を計算する問題です。ただし、$^t A$ は $A$ の転置行列を表します。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$, $B$, $c$ に対して、(i) $AB$, (ii) $^t c B$, (iii) B \, ^tA を計算する問題です。ただし、$^t A$ は $A$ の転置行列を表します。

2. 解き方の手順

(i) $AB$の計算：

行列 $A$ は $2 \times 3$ 行列、行列 $B$ は $3 \times 2$ 行列なので、$AB$ は $2 \times 2$ 行列となります。

$AB = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -2 \\ 4 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-1)(2)+(2)(3)+(0)(4) & (-1)(0)+(2)(-2)+(0)(-3) \\ (1)(2)+(3)(3)+(1)(4) & (1)(0)+(3)(-2)+(1)(-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2+6+0 & 0-4+0 \\ 2+9+4 & 0-6-3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -4 \\ 15 & -9 \end{bmatrix}$

(ii) $^t c B$の計算：

$c = \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \\ -2 \end{bmatrix}$ より、$^t c = \begin{bmatrix} 1 & -3 & -2 \end{bmatrix}$ となります。$^t c$ は $1 \times 3$ 行列、 $B$ は $3 \times 2$ 行列なので、$^t c B$ は $1 \times 2$ 行列となります。

$^t c B = \begin{bmatrix} 1 & -3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -2 \\ 4 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(2)+(-3)(3)+(-2)(4) & (1)(0)+(-3)(-2)+(-2)(-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2-9-8 & 0+6+6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -15 & 12 \end{bmatrix}$

(iii) B \, ^t Aの計算：

$A = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{bmatrix}$ より、$^t A = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ となります。$B$ は $3 \times 2$ 行列、$^t A$ は $3 \times 2$ 行列なので、B \, ^t A は定義されません。これは、行列の積を計算するには、左側の行列の列の数と右側の行列の行の数が一致する必要があるためです。$B$は$3\times2$行列で、$^tA$は$3\times2$行列であるため、積 B\,^tA は定義できません。

したがって、B \, ^tA は計算不能です。

3. 最終的な答え

(i) $AB = \begin{bmatrix} 4 & -4 \\ 15 & -9 \end{bmatrix}$

(ii) $^t c B = \begin{bmatrix} -15 & 12 \end{bmatrix}$

(iii) B \, ^tA は計算不能