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(1) 次の連立1次方程式の解を掃き出し法を用いて求めよ。 $ \begin{cases} 5x + y - 2z = 0 \\ x + 3y + 2z = 2 \\ 2x - 2y + z = 6 \end{cases} $ (2) 次の連立1次方程式の解を掃き出し法を用いて求めよ。 $ \begin{cases} 2x + y + 3z = 0 \\ 4x + y + 7z = 0 \\ 3x + 2y + 4z = 0 \end{cases} $ (3) 次の行列の階数（ランク）を求めよ。 $ \begin{bmatrix} 3 & 4 & 5 & -1 \\ 2 & 3 & 4 & -1 \\ -4 & -5 & -6 & 1 \\ 5 & 7 & 9 & -2 \end{bmatrix} $

代数学連立一次方程式掃き出し法行列階数ランク
2025/8/5

1. 問題の内容

(1) 次の連立1次方程式の解を掃き出し法を用いて求めよ。
\begin{cases}
5x + y - 2z = 0 \\
x + 3y + 2z = 2 \\
2x - 2y + z = 6
\end{cases}
(2) 次の連立1次方程式の解を掃き出し法を用いて求めよ。
\begin{cases}
2x + y + 3z = 0 \\
4x + y + 7z = 0 \\
3x + 2y + 4z = 0
\end{cases}
(3) 次の行列の階数（ランク）を求めよ。
\begin{bmatrix}
3 & 4 & 5 & -1 \\
2 & 3 & 4 & -1 \\
-4 & -5 & -6 & 1 \\
5 & 7 & 9 & -2
\end{bmatrix}

2. 解き方の手順

(1) 拡大係数行列を作成し、掃き出し法で解く。
拡大係数行列は
\begin{bmatrix}
5 & 1 & -2 & 0 \\
1 & 3 & 2 & 2 \\
2 & -2 & 1 & 6
\end{bmatrix}
である。
1行目と2行目を入れ替える。
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 2 & 2 \\
5 & 1 & -2 & 0 \\
2 & -2 & 1 & 6
\end{bmatrix}
2行目から1行目の5倍を引く。
3行目から1行目の2倍を引く。
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 2 & 2 \\
0 & -14 & -12 & -10 \\
0 & -8 & -3 & 2
\end{bmatrix}
2行目を-14で割る。
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 2 & 2 \\
0 & 1 & \frac{6}{7} & \frac{5}{7} \\
0 & -8 & -3 & 2
\end{bmatrix}
3行目に2行目の8倍を足す。
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 2 & 2 \\
0 & 1 & \frac{6}{7} & \frac{5}{7} \\
0 & 0 & \frac{27}{7} & \frac{54}{7}
\end{bmatrix}
3行目を277\frac{27}{7}で割る。
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 2 & 2 \\
0 & 1 & \frac{6}{7} & \frac{5}{7} \\
0 & 0 & 1 & 2
\end{bmatrix}
1行目から3行目の2倍を引く。
2行目から3行目の67\frac{6}{7}倍を引く。
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 0 & -2 \\
0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 2
\end{bmatrix}
1行目から2行目の3倍を引く。
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 2
\end{bmatrix}
よって、x=1,y=−1,z=2x=1, y=-1, z=2
(2) 拡大係数行列を作成し、掃き出し法で解く。
拡大係数行列は
\begin{bmatrix}
2 & 1 & 3 & 0 \\
4 & 1 & 7 & 0 \\
3 & 2 & 4 & 0
\end{bmatrix}
である。
2行目から1行目の2倍を引く。
3行目から1行目の32\frac{3}{2}倍を引く。
\begin{bmatrix}
2 & 1 & 3 & 0 \\
0 & -1 & 1 & 0 \\
0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0
\end{bmatrix}
2行目に-1を掛ける。
\begin{bmatrix}
2 & 1 & 3 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0
\end{bmatrix}
3行目から2行目の12\frac{1}{2}倍を引く。
\begin{bmatrix}
2 & 1 & 3 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
1行目から2行目を引く。
\begin{bmatrix}
2 & 0 & 4 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
1行目を2で割る。
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
よって、x+2z=0x + 2z = 0, y−z=0y - z = 0
x=−2zx = -2z, y=zy = z
z=cz = c とすると、x=−2cx = -2c, y=cy = c
(3) 与えられた行列をAAとする。行列AAの階数を求める。
A = \begin{bmatrix}
3 & 4 & 5 & -1 \\
2 & 3 & 4 & -1 \\
-4 & -5 & -6 & 1 \\
5 & 7 & 9 & -2
\end{bmatrix}
3行目に2行目を足すと、
\begin{bmatrix}
3 & 4 & 5 & -1 \\
2 & 3 & 4 & -1 \\
-2 & -2 & -2 & 0 \\
5 & 7 & 9 & -2
\end{bmatrix}
4行目に2行目の-2倍を足すと、
\begin{bmatrix}
3 & 4 & 5 & -1 \\
2 & 3 & 4 & -1 \\
-2 & -2 & -2 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0
\end{bmatrix}
3行目を-2で割ると、
\begin{bmatrix}
3 & 4 & 5 & -1 \\
2 & 3 & 4 & -1 \\
1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0
\end{bmatrix}
4行目から3行目を引くと、
\begin{bmatrix}
3 & 4 & 5 & -1 \\
2 & 3 & 4 & -1 \\
1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
1行目から3行目の-3倍を引くと、
2行目から3行目の-2倍を引くと、
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 2 & -1 \\
0 & 1 & 2 & -1 \\
1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
2行目から1行目を引くと、
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 2 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
1行目と3行目を入れ替えると、
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
1行目から2行目を引くと、
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
したがって、行列AAの階数は2である。

3. 最終的な答え

(1) x=1x = 1, y=−1y = -1, z=2z = 2
(2) x=−2cx = -2c, y=cy = c, z=cz = c (cは任意の実数)
(3) 2

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