与えられた式 $(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc$ を展開し、整理した結果を求めます。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc$ を展開し、整理した結果を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開していきます。

まず、$(a+b+c)(ab+bc+ca)$ を展開します。

$a(ab+bc+ca) = a^2b + abc + ca^2$

$b(ab+bc+ca) = ab^2 + b^2c + abc$

$c(ab+bc+ca) = abc + bc^2 + c^2a$

これらの結果を足し合わせます。

$(a+b+c)(ab+bc+ca) = a^2b + abc + ca^2 + ab^2 + b^2c + abc + abc + bc^2 + c^2a$

$(a+b+c)(ab+bc+ca) = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

次に、この結果から $abc$ を引きます。

$(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc - abc$

$(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc$

この式を因数分解すると、$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc = (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$