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$F'(x) = 2x - 2$ かつ $F(2) = 1$ を満たす関数 $F(x)$ を求める問題です。

解析学積分微分不定積分積分定数関数の決定
2025/4/6

1. 問題の内容

F′(x)=2x−2F'(x) = 2x - 2 かつ F(2)=1F(2) = 1 を満たす関数 F(x)F(x) を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、F′(x)F'(x) を積分して F(x)F(x) を求めます。
F′(x)=2x−2F'(x) = 2x - 2 なので、
F(x)=∫(2x−2)dx=x2−2x+CF(x) = \int (2x - 2) dx = x^2 - 2x + C
ここで、CC は積分定数です。
次に、F(2)=1F(2) = 1 の条件を使って積分定数 CC を求めます。
F(x)=x2−2x+CF(x) = x^2 - 2x + C に x=2x = 2 を代入すると、
F(2)=22−2⋅2+C=4−4+C=CF(2) = 2^2 - 2 \cdot 2 + C = 4 - 4 + C = C
F(2)=1F(2) = 1 より、C=1C = 1 です。
したがって、F(x)=x2−2x+1F(x) = x^2 - 2x + 1 となります。

3. 最終的な答え

F(x)=x2−2x+1F(x) = x^2 - 2x + 1

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