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定積分 $\int_{0}^{4} (6x^2 - 6x + 1) dx$ を計算します。

解析学定積分積分計算
2025/4/6

1. 問題の内容

定積分 ∫04(6x2−6x+1)dx\int_{0}^{4} (6x^2 - 6x + 1) dx を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 6x2−6x+16x^2 - 6x + 1 の不定積分を求めます。
6x26x^2 の不定積分は 6⋅x33=2x36 \cdot \frac{x^3}{3} = 2x^3
−6x-6x の不定積分は −6⋅x22=−3x2-6 \cdot \frac{x^2}{2} = -3x^2
11 の不定積分は xx
したがって、6x2−6x+16x^2 - 6x + 1 の不定積分は 2x3−3x2+x2x^3 - 3x^2 + x となります。
次に、この不定積分に積分区間の上限 44 と下限 00 を代入し、その差を計算します。
x=4x = 4 を代入すると 2(4)3−3(4)2+4=2(64)−3(16)+4=128−48+4=842(4)^3 - 3(4)^2 + 4 = 2(64) - 3(16) + 4 = 128 - 48 + 4 = 84
x=0x = 0 を代入すると 2(0)3−3(0)2+0=02(0)^3 - 3(0)^2 + 0 = 0
したがって、定積分の値は 84−0=8484 - 0 = 84 となります。

3. 最終的な答え

84

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