SENSEI AI
About App

定積分 $\int_{0}^{4} (6x^2 - 6x + 1) dx$ を計算します。

解析学定積分積分計算
2025/4/6

1. 問題の内容

定積分 ∫04(6x2−6x+1)dx\int_{0}^{4} (6x^2 - 6x + 1) dx を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 6x2−6x+16x^2 - 6x + 1 の不定積分を求めます。
6x26x^2 の不定積分は 6⋅x33=2x36 \cdot \frac{x^3}{3} = 2x^3
−6x-6x の不定積分は −6⋅x22=−3x2-6 \cdot \frac{x^2}{2} = -3x^2
11 の不定積分は xx
したがって、6x2−6x+16x^2 - 6x + 1 の不定積分は 2x3−3x2+x2x^3 - 3x^2 + x となります。
次に、この不定積分に積分区間の上限 44 と下限 00 を代入し、その差を計算します。
x=4x = 4 を代入すると 2(4)3−3(4)2+4=2(64)−3(16)+4=128−48+4=842(4)^3 - 3(4)^2 + 4 = 2(64) - 3(16) + 4 = 128 - 48 + 4 = 84
x=0x = 0 を代入すると 2(0)3−3(0)2+0=02(0)^3 - 3(0)^2 + 0 = 0
したがって、定積分の値は 84−0=8484 - 0 = 84 となります。

3. 最終的な答え

84

「解析学」の関連問題

与えられた連立微分方程式を解く問題です。 連立微分方程式は以下の通りです。 $\begin{cases} x' = -2x + y \\ y' = x - 2y \end{cases}$

連立微分方程式固有値固有ベクトル線形代数
2025/6/30

次の関数の最大値と最小値を求めます。 (1) $f(x) = (1-x)\cos x + \sin x$ ($0 \le x \le \pi$) (2) $f(x) = \cos^3 x - \sin...

最大値最小値微分関数の増減三角関数対数関数
2025/6/30

2つの曲線 $y = x^2$ と $y = -x^2 - 4x$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

積分面積二次関数
2025/6/30

次の3つの関数について、与えられた定義域における最大値と最小値を求めよ。 (1) $f(x) = (1-x)\cos x + \sin x$, ($0 \le x \le \pi$) (2) $f(x...

最大値最小値導関数三角関数対数関数
2025/6/30

与えられた級数 $S = 1 + 4x + 7x^2 + \dots + (3n-2)x^{n-1}$ の和を求める問題です。

級数等比数列和数列
2025/6/30

与えられた微分方程式 $3y' - 4y = -3y^4 e^{-4x}$ の一般解を求め、初期条件 $x=0$ のとき $y=1$ を満たす解を、選択肢の中から選びます。

微分方程式ベルヌーイ型一般解初期条件
2025/6/30

放物線 $y = x^2$ と、以下の2つの放物線で囲まれた部分の面積 $S$ をそれぞれ求める問題です。 (1) $y = -x^2 + 2x + 4$ (2) $y = \frac{1}{2}x^...

積分面積放物線定積分
2025/6/30

関数 $y = x^3 - 6x^2 + 9x$ と $x$軸で囲まれた部分の面積を求める問題です。

積分関数のグラフ面積
2025/6/30

放物線 $y = x^2$ と放物線 $y = -x^2 + 2x + 4$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

積分面積放物線
2025/6/30

放物線 $y = x^2$ と、(1) $y = -x^2 + 2x + 4$ および (2) $y = \frac{1}{2}x^2 + 2$ で囲まれた部分の面積 $S$ をそれぞれ求める。

積分面積放物線定積分
2025/6/30