定積分 $\int_{5}^{1} (-9x^2 + 4x + 1) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{5}^{1} (-9x^2 + 4x + 1) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $-9x^2 + 4x + 1$ の不定積分を求めます。

$x^n$ の不定積分は $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ であることを利用します。

$\int (-9x^2 + 4x + 1) dx = -9 \int x^2 dx + 4 \int x dx + \int 1 dx = -9 \cdot \frac{x^3}{3} + 4 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C = -3x^3 + 2x^2 + x + C$

次に、求めた不定積分に積分区間の上限と下限を代入して引き算します。定積分は以下のようになります。

$\int_{5}^{1} (-9x^2 + 4x + 1) dx = [-3x^3 + 2x^2 + x]_{5}^{1} = (-3(1)^3 + 2(1)^2 + 1) - (-3(5)^3 + 2(5)^2 + 5) = (-3 + 2 + 1) - (-3(125) + 2(25) + 5) = 0 - (-375 + 50 + 5) = 0 - (-320) = 320$

3. 最終的な答え

320