定積分 $\int_{1}^{3} (3x^2 - 4x + 5) \, dx$ を計算します。

解析学定積分積分計算

2025/4/6

1. 問題の内容

定積分

\int_{1}^{3} (3x^2 - 4x + 5) \, dx

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数

3x^2 - 4x + 5

の不定積分を求めます。

\int (3x^2 - 4x + 5) \, dx = 3\int x^2 \, dx - 4\int x \, dx + 5\int 1 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C = x^3 - 2x^2 + 5x + C

次に、定積分を計算するために、不定積分に積分区間の上限と下限を代入し、その差を求めます。

\int_{1}^{3} (3x^2 - 4x + 5) \, dx = [x^3 - 2x^2 + 5x]_{1}^{3}

= (3^3 - 2(3^2) + 5(3)) - (1^3 - 2(1^2) + 5(1))

= (27 - 18 + 15) - (1 - 2 + 5)

= 24 - 4

= 20

3. 最終的な答え

20

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