定積分 $\int_{1}^{3} (3x^2 - 4x + 5) \, dx$ を計算します。

解析学定積分積分計算
2025/4/6

1. 問題の内容

定積分 13(3x24x+5)dx\int_{1}^{3} (3x^2 - 4x + 5) \, dx を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 3x24x+53x^2 - 4x + 5 の不定積分を求めます。
(3x24x+5)dx=3x2dx4xdx+51dx=3x334x22+5x+C=x32x2+5x+C\int (3x^2 - 4x + 5) \, dx = 3\int x^2 \, dx - 4\int x \, dx + 5\int 1 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C = x^3 - 2x^2 + 5x + C
次に、定積分を計算するために、不定積分に積分区間の上限と下限を代入し、その差を求めます。
13(3x24x+5)dx=[x32x2+5x]13\int_{1}^{3} (3x^2 - 4x + 5) \, dx = [x^3 - 2x^2 + 5x]_{1}^{3}
=(332(32)+5(3))(132(12)+5(1))= (3^3 - 2(3^2) + 5(3)) - (1^3 - 2(1^2) + 5(1))
=(2718+15)(12+5)= (27 - 18 + 15) - (1 - 2 + 5)
=244= 24 - 4
=20= 20

3. 最終的な答え

20

「解析学」の関連問題

与えられた2階微分方程式 $y'' + 2(y')^2 = 0$ を、階数下げの方法と変数分離法を用いて解き、$y(x) = \int u(x)dx + C$ (Cは積分定数) を満たす $y(x)$...

微分方程式階数下げ変数分離法積分
2025/6/5

問題は以下の通りです。 * 問題2:$a$ を正の定数とする。関数 $f(x) = \frac{x^2 - ax + 1}{e^x}$ の極小値を $a$ を用いて表せ。 * 問題3:数列 $...

関数の極値微分数列極限数学的帰納法対数関数
2025/6/5

(1) $f(x) = \frac{1}{(1+x)(1-x)}$ をより簡単な形に変形せよ。 (2) $f(x) = e^x \sin x$ の $n$ 階導関数 $f^{(n)}(x)$ について...

部分分数分解導関数指数関数三角関数微分
2025/6/5

与えられた8個の定積分を計算する問題です。

定積分置換積分部分積分
2025/6/5

次の定積分を計算します。 (1) $\int_{-1}^{1} 3x^2(x^3+1)^5 dx$ (2) $\int_{0}^{1} e^{5x+2} dx$ (3) $\int_{0}^{\fra...

定積分置換積分部分積分
2025/6/5

(13) $\lim_{x\to 0} \frac{1 - \cos{\frac{x}{2}}}{x^2}$ と (14) $\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos^2 x}{(1-\c...

極限三角関数テイラー展開ロピタルの定理
2025/6/5

$a>0$ とする。関数 $y = ae^{\frac{x}{a}}$ と $y = ae^{-\frac{x}{a}}$ のグラフと、$y$ 軸に平行な直線との交点をそれぞれ $P, Q$ とすると...

軌跡指数関数双曲線関数積分弧長
2025/6/5

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(2x)}{x^2}$ の極限値を求めます。

極限三角関数ロピタルの定理
2025/6/5

問題が複数あるようなので、一つずつ解いていきます。

極限三角関数ロピタルの定理
2025/6/5

テーラーの定理(n=1)の証明と教科書p.45の(n: 一般)の証明を参考に、テーラーの定理(n=2)を証明する。

テーラーの定理微分剰余項平均値の定理
2025/6/5