次の定積分を求めます。 $\int_{1}^{2} (\frac{3}{8}x^2 - \frac{4}{8}x) dx$

1. 問題の内容

次の定積分を求めます。

$\int_{1}^{2} (\frac{3}{8}x^2 - \frac{4}{8}x) dx$

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算します。

$\int (\frac{3}{8}x^2 - \frac{4}{8}x) dx = \frac{3}{8} \int x^2 dx - \frac{1}{2} \int x dx$

$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C_1$

$\int x dx = \frac{x^2}{2} + C_2$

したがって、

$\int (\frac{3}{8}x^2 - \frac{1}{2}x) dx = \frac{3}{8} \cdot \frac{x^3}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + C = \frac{x^3}{8} - \frac{x^2}{4} + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{1}^{2} (\frac{3}{8}x^2 - \frac{1}{2}x) dx = [\frac{x^3}{8} - \frac{x^2}{4}]_1^2 = (\frac{2^3}{8} - \frac{2^2}{4}) - (\frac{1^3}{8} - \frac{1^2}{4}) = (\frac{8}{8} - \frac{4}{4}) - (\frac{1}{8} - \frac{1}{4}) = (1 - 1) - (\frac{1}{8} - \frac{2}{8}) = 0 - (-\frac{1}{8}) = \frac{1}{8}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{8}$