$0 \le x < 2\pi$, $0 \le y < 2\pi$ のとき、連立方程式 $\begin{cases} \cos x = 1 - \sin y \quad \cdots ① \\ \sin x = \sqrt{3} + \cos y \quad \cdots ② \end{cases}$ の解を求める問題です。具体的には、以下の空欄を埋めることになります。 * ①, ②より $x$ を消去すると $\sin y - \boxed{カ} \cos y = \boxed{キ}$ となる。 * ③は次のように変形できる。$\sin(y - \boxed{ク}) = \boxed{ケ}$ * ただし、$-\frac{\pi}{2} \le \boxed{ク} \le \frac{\pi}{2}$ であり、$\boxed{ケ}$ は定数である。 * $0 \le y < 2\pi$ より、$y = \boxed{コ}$ である。 * $y = \boxed{コ}$ を①, ②に代入して、$0 \le x < 2\pi$ を満たす $x$ の値を求めると $x = \boxed{サ}$ が得られる。

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$, $0 \le y < 2\pi$ のとき、連立方程式

$\begin{cases}

\cos x = 1 - \sin y \quad \cdots ① \\

\sin x = \sqrt{3} + \cos y \quad \cdots ②

\end{cases}$

の解を求める問題です。具体的には、以下の空欄を埋めることになります。

* ①, ②より $x$ を消去すると $\sin y - \boxed{カ} \cos y = \boxed{キ}$ となる。

* ③は次のように変形できる。$\sin(y - \boxed{ク}) = \boxed{ケ}$

* ただし、$-\frac{\pi}{2} \le \boxed{ク} \le \frac{\pi}{2}$ であり、$\boxed{ケ}$ は定数である。

* $0 \le y < 2\pi$ より、$y = \boxed{コ}$ である。

* $y = \boxed{コ}$ を①, ②に代入して、$0 \le x < 2\pi$ を満たす $x$ の値を求めると $x = \boxed{サ}$ が得られる。

2. 解き方の手順

まず、①と②をそれぞれ2乗します。

$\cos^2 x = (1 - \sin y)^2 = 1 - 2\sin y + \sin^2 y$

$\sin^2 x = (\sqrt{3} + \cos y)^2 = 3 + 2\sqrt{3}\cos y + \cos^2 y$

これらを足し合わせると、

$\cos^2 x + \sin^2 x = 1 - 2\sin y + \sin^2 y + 3 + 2\sqrt{3}\cos y + \cos^2 y$

$1 = 4 - 2\sin y + 2\sqrt{3}\cos y + \sin^2 y + \cos^2 y$

$1 = 4 - 2\sin y + 2\sqrt{3}\cos y + 1$

$0 = 4 - 2\sin y + 2\sqrt{3}\cos y$

$2\sin y - 2\sqrt{3}\cos y = 4$

$\sin y - \sqrt{3}\cos y = 2 \quad \cdots ③$

よって、カは$\sqrt{3}$、キは2です。

次に、③を合成します。

$\sin y - \sqrt{3}\cos y = 2\sin(y - \frac{\pi}{3}) = 2$

$\sin(y - \frac{\pi}{3}) = 1$

よって、クは$\frac{\pi}{3}$、ケは1です。

$-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2}$ を満たします。

$0 \le y < 2\pi$ より、

$y - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$

$y = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

よって、コは$\frac{5\pi}{6}$です。

$y = \frac{5\pi}{6}$ を①に代入すると、

$\cos x = 1 - \sin(\frac{5\pi}{6}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$y = \frac{5\pi}{6}$ を②に代入すると、

$\sin x = \sqrt{3} + \cos(\frac{5\pi}{6}) = \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos x = \frac{1}{2}$ と $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $x$ は $x = \frac{\pi}{3}$ です。

よって、サは$\frac{\pi}{3}$です。

3. 最終的な答え

カ: $\sqrt{3}$

キ: 2

ク: $\frac{\pi}{3}$

ケ: 1

コ: $\frac{5\pi}{6}$

サ: $\frac{\pi}{3}$