(1) カレンダーに並んだ2つの数 $a$ と $b$（図の例では6と13）について、$b^2 - a^2$ が常に7の倍数となることを証明する。 (2) カレンダーに並んだ4つの数 $c, d, e, f$（図の例では15, 16, 22, 23）について、$de - cf$ が常に7になることを証明する。

はい、承知しました。問題文を読み、解いていきます。

1. 問題の内容

(1) カレンダーに並んだ2つの数 $a$ と $b$（図の例では6と13）について、$b^2 - a^2$ が常に7の倍数となることを証明する。

(2) カレンダーに並んだ4つの数 $c, d, e, f$（図の例では15, 16, 22, 23）について、$de - cf$ が常に7になることを証明する。

2. 解き方の手順

(1)

カレンダーで縦に並んだ2つの数は、必ず7の差があります。したがって、$b = a + 7$ と表すことができます。

$b^2 - a^2$ を計算すると、以下のようになります。

$b^2 - a^2 = (a+7)^2 - a^2$

$= a^2 + 14a + 49 - a^2$

$= 14a + 49$

$= 7(2a + 7)$

この式は7の倍数であるため、$b^2 - a^2$ は常に7の倍数であることが証明されました。

(2)

カレンダーに並んだ4つの数 $c, d, e, f$ について、$d = c+1$、$e = c+7$、$f = d+7 = c+8$ と表すことができます。

$de - cf$ を計算すると、以下のようになります。

$de - cf = (c+1)(c+7) - c(c+8)$

$= c^2 + 8c + 7 - c^2 - 8c$

$= 7$

この式は7になるため、$de - cf = 7$ であることが証明されました。

3. 最終的な答え

(1) $b^2 - a^2 = 7(2a + 7)$ より、$b^2 - a^2$ は7の倍数である。

(2) $de - cf = 7$