次の定積分を求めよ: $\int_1^2 (27x^2 + 18x) dx$

1. 問題の内容

次の定積分を求めよ: $\int_1^2 (27x^2 + 18x) dx$

2. 解き方の手順

まず、不定積分を求めます。

$\int (27x^2 + 18x) dx = 27 \int x^2 dx + 18 \int x dx = 27 \cdot \frac{x^3}{3} + 18 \cdot \frac{x^2}{2} + C = 9x^3 + 9x^2 + C$

ここで、$C$は積分定数です。

次に、定積分を計算します。

$\int_1^2 (27x^2 + 18x) dx = [9x^3 + 9x^2]_1^2 = (9(2^3) + 9(2^2)) - (9(1^3) + 9(1^2)) = (9(8) + 9(4)) - (9(1) + 9(1)) = (72 + 36) - (9 + 9) = 108 - 18 = 90$

3. 最終的な答え

90