定積分 $\int_{1}^{4} (27x^2 + 18x) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{4} (27x^2 + 18x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算します。

$\int (27x^2 + 18x) dx = 27 \int x^2 dx + 18 \int x dx$

$= 27 \cdot \frac{x^3}{3} + 18 \cdot \frac{x^2}{2} + C$

$= 9x^3 + 9x^2 + C$

次に、定積分の値を計算します。

$\int_{1}^{4} (27x^2 + 18x) dx = [9x^3 + 9x^2]_1^4$

$= (9(4)^3 + 9(4)^2) - (9(1)^3 + 9(1)^2)$

$= (9 \cdot 64 + 9 \cdot 16) - (9 + 9)$

$= (576 + 144) - 18$

$= 720 - 18$

$= 702$

3. 最終的な答え

702