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定積分 $\int_1^3 (60x^2 - 40x + 10)dx$ を計算する。

解析学定積分積分
2025/4/6

1. 問題の内容

定積分 ∫13(60x2−40x+10)dx\int_1^3 (60x^2 - 40x + 10)dx を計算する。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 60x2−40x+1060x^2 - 40x + 10 の不定積分を求める。
∫(60x2−40x+10)dx=60∫x2dx−40∫xdx+10∫dx\int (60x^2 - 40x + 10)dx = 60 \int x^2 dx - 40 \int x dx + 10 \int dx
=60⋅x33−40⋅x22+10x+C= 60 \cdot \frac{x^3}{3} - 40 \cdot \frac{x^2}{2} + 10x + C
=20x3−20x2+10x+C= 20x^3 - 20x^2 + 10x + C
ここで、CCは積分定数である。
次に、定積分の値を計算する。
∫13(60x2−40x+10)dx=[20x3−20x2+10x]13\int_1^3 (60x^2 - 40x + 10)dx = [20x^3 - 20x^2 + 10x]_1^3
=(20(3)3−20(3)2+10(3))−(20(1)3−20(1)2+10(1))= (20(3)^3 - 20(3)^2 + 10(3)) - (20(1)^3 - 20(1)^2 + 10(1))
=(20(27)−20(9)+30)−(20−20+10)= (20(27) - 20(9) + 30) - (20 - 20 + 10)
=(540−180+30)−(10)= (540 - 180 + 30) - (10)
=390−10= 390 - 10
=380= 380

3. 最終的な答え

380

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