白玉3個、赤玉5個、青玉4個が入った袋から4個の玉を同時に取り出す。 (a) 3個以上赤玉が出る確率を求めよ。 (b) 取り出した玉がどの色の玉も含む確率を求めよ。

1. 問題の内容

白玉3個、赤玉5個、青玉4個が入った袋から4個の玉を同時に取り出す。

(a) 3個以上赤玉が出る確率を求めよ。

(b) 取り出した玉がどの色の玉も含む確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(a) 3個以上赤玉が出る確率

まず、4個の玉を取り出す全ての場合の数を計算します。これは $_{12}C_4$ で表されます。

$_{12}C_4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495$

次に、3個以上赤玉が出る場合を考えます。これは、赤玉が3個の場合と赤玉が4個の場合に分けられます。

* 赤玉が3個の場合：

赤玉5個から3個を選び、残りの1個を赤玉以外の7個（白玉3個、青玉4個）から選びます。

場合の数は $_{5}C_3 \times _{7}C_1 = \frac{5!}{3!2!} \times 7 = 10 \times 7 = 70$

* 赤玉が4個の場合：

赤玉5個から4個を選びます。

場合の数は $_{5}C_4 = \frac{5!}{4!1!} = 5$

したがって、3個以上赤玉が出る場合の数は $70 + 5 = 75$ です。

求める確率は $\frac{75}{495} = \frac{5}{33}$ となります。

(b) 取り出した玉がどの色の玉も含む確率

どの色の玉も含むためには、白玉、赤玉、青玉をそれぞれ少なくとも1個ずつ取り出す必要があります。残りの1個はどの色でも構いません。考えられる色の組み合わせは、(白1, 赤1, 青1, 白/赤/青1)です。場合分けして計算します。

まず、白玉、赤玉、青玉をそれぞれ1つずつ選ぶ組み合わせの数は、

$_{3}C_1 \times _{5}C_1 \times _{4}C_1 = 3 \times 5 \times 4 = 60$ 通り。

次に、残りの1個を選ぶことを考えます。

* 残りの1個が白玉の場合：$_{3}C_1 \times _{5}C_1 \times _{4}C_1 \times _{2}C_1= 3 \times 5 \times 4 \times 2 = 120$ 通り

* 残りの1個が赤玉の場合：$_{3}C_1 \times _{5}C_1 \times _{4}C_1 \times _{4}C_1= 3 \times 5 \times 4 \times 4 = 240$ 通り

* 残りの1個が青玉の場合：$_{3}C_1 \times _{5}C_1 \times _{4}C_1 \times _{3}C_1= 3 \times 5 \times 4 \times 3 = 180$ 通り

ただし、単純に上記を足し合わせると重複が生じるため、以下のように計算します。

1つずつ取り出したあと、残りの1つは12-3-5-4+3+5+4-3-5-4=9個から1つ選ぶ。

$_{3}C_1 \times _{5}C_1 \times _{4}C_1 \times _{ (3-1+5-1+4-1)} C_1= 3 \times 5 \times 4 \times 9 = 540$ 通り

ただし、単純に計算すると、一つの色が2つ以上になるケースがある。

1. 白玉, 赤玉, 青玉をそれぞれ1つ選び、残り1つを白玉,赤玉,青玉から選ぶ。

1. 白玉1個、赤玉1個、青玉1個を選ぶ方法は、 $3 \times 5 \times 4 = 60$ 通り

2. 残りの1個の選び方

残り白玉：$3-1=2$通り

残り赤玉：$5-1=4$通り

残り青玉：$4-1=3$通り

3. 合計すると、$60 \times (2+4+3) = 60 \times 9=540$通り

したがって、求める確率は $\frac{540}{495} = \frac{12}{11}$？？

これは確率1を超えるためおかしい。

全事象495通り

白玉、赤玉、青玉が最低１個ずつ含まれるケースを考える。

1. 各色１個ずつ：3x5x4 = 60 通り

2. 残り1個は9個の玉から選べるので 9通り

合計で 60 x 9 =540 通り（矛盾発生）

各色の玉を少なくとも1個ずつ取り出すパターンは、(1,1,2), (1,2,1), (2,1,1)に限られる。

(白1, 赤1, 青2) = 3C1 * 5C1 * 4C2 = 3 * 5 * 6 = 90

(白1, 赤2, 青1) = 3C1 * 5C2 * 4C1 = 3 * 10 * 4 = 120

(白2, 赤1, 青1) = 3C2 * 5C1 * 4C1 = 3 * 5 * 4 = 60

合計：90+120+60=270

$270/495=6/11$

3. 最終的な答え

(a) $\frac{5}{33}$

(b) $\frac{6}{11}$