次の定積分を求める問題です。 $\int_{1}^{4} (\frac{3}{5}x^2 + \frac{2}{5}x) dx$

1. 問題の内容

次の定積分を求める問題です。

$\int_{1}^{4} (\frac{3}{5}x^2 + \frac{2}{5}x) dx$

2. 解き方の手順

まず、積分を計算します。

$\int (\frac{3}{5}x^2 + \frac{2}{5}x) dx = \frac{3}{5} \int x^2 dx + \frac{2}{5} \int x dx = \frac{3}{5} \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{2}{5} \cdot \frac{x^2}{2} + C = \frac{x^3}{5} + \frac{x^2}{5} + C$

次に、積分区間 [1, 4] で定積分を計算します。

$[\frac{x^3}{5} + \frac{x^2}{5}]_{1}^{4} = (\frac{4^3}{5} + \frac{4^2}{5}) - (\frac{1^3}{5} + \frac{1^2}{5}) = (\frac{64}{5} + \frac{16}{5}) - (\frac{1}{5} + \frac{1}{5}) = \frac{80}{5} - \frac{2}{5} = \frac{78}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{78}{5}$