次の定積分を求めよ。 $\int_{1}^{3}(\frac{4}{x^2} - \frac{4}{x}) dx$

1. 問題の内容

次の定積分を求めよ。

$\int_{1}^{3}(\frac{4}{x^2} - \frac{4}{x}) dx$

2. 解き方の手順

まず、積分を計算します。

$\int (\frac{4}{x^2} - \frac{4}{x}) dx = \int (4x^{-2} - \frac{4}{x}) dx$

$4 \int x^{-2} dx - 4 \int \frac{1}{x} dx = 4 \frac{x^{-1}}{-1} - 4 \ln |x| + C$

$= -\frac{4}{x} - 4 \ln |x| + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{1}^{3}(\frac{4}{x^2} - \frac{4}{x}) dx = [-\frac{4}{x} - 4 \ln |x|]_1^3$

$= (-\frac{4}{3} - 4 \ln 3) - (-\frac{4}{1} - 4 \ln 1)$

$= -\frac{4}{3} - 4 \ln 3 + 4 + 4 \ln 1$

$\ln 1 = 0$なので、

$= -\frac{4}{3} - 4 \ln 3 + 4$

$= \frac{-4 + 12}{3} - 4 \ln 3$

$= \frac{8}{3} - 4 \ln 3$

3. 最終的な答え

$\frac{8}{3} - 4 \ln 3$