1から5までの番号が書かれた5枚のカードが、下から5, 4, 3, 2, 1の順に積まれている。この状態から、以下の試行Tを繰り返す。 試行T: 一番上のカードを取り、残りの4枚のカードのいずれかの下に等確率で入れる。 この問題では、この初期状態から試行Tを開始し、以下の各問いに答える。 (1) 試行Tを2回続けて行うとき、2回目の試行の結果、3がカードの山の一番上になる確率を求めよ。 (2) 試行Tを5回続けて行うとき、1回目は1番上のカードが5より上に入り、1回目以外の回は5より下に入る確率を求めよ。 (3) 試行Tを5回続けて行うとき、2回目は1番上のカードが5より上に入り、2回目以外の回は5より下に入る確率を求めよ。 (4) 試行Tを5回続けて行うとき、5回の試行の結果、5がカードの山の一番上になる確率を求めよ。 (5) 試行Tを5回続けて行うとき、5回の試行の結果、4がカードの山の一番上になる確率を求めよ。

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

1から5までの番号が書かれた5枚のカードが、下から5, 4, 3, 2, 1の順に積まれている。この状態から、以下の試行Tを繰り返す。

試行T: 一番上のカードを取り、残りの4枚のカードのいずれかの下に等確率で入れる。

この問題では、この初期状態から試行Tを開始し、以下の各問いに答える。

(1) 試行Tを2回続けて行うとき、2回目の試行の結果、3がカードの山の一番上になる確率を求めよ。

(2) 試行Tを5回続けて行うとき、1回目は1番上のカードが5より上に入り、1回目以外の回は5より下に入る確率を求めよ。

(3) 試行Tを5回続けて行うとき、2回目は1番上のカードが5より上に入り、2回目以外の回は5より下に入る確率を求めよ。

(4) 試行Tを5回続けて行うとき、5回の試行の結果、5がカードの山の一番上になる確率を求めよ。

(5) 試行Tを5回続けて行うとき、5回の試行の結果、4がカードの山の一番上になる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

初期状態では、カードの山は下から5, 4, 3, 2, 1である。試行Tを2回行う。

1回目の試行で1が取り除かれ、残りの4枚(5, 4, 3, 2)のいずれかの下に入る。

2回目の試行で3が一番上になるためには、1回目の試行で1が5,4の下に入り、2回目の試行で2が5,4の下に入ればよい。

1回目の試行で1が3の下に入る確率は$\frac{1}{4}$。2回目の試行では、2が一番上にあるので、2が5,4,1,3の下に入る確率は$\frac{1}{4}$。従って、

$P(1) = 1/4$

$P(2) = 1/4$

$1$回目の試行で$1$が$3$の下に入らなかった場合、カードの山は

$5, 4, 3, 2$または$5, 4, 2, 1$または$5, 3, 2, 1$または$4, 3, 2, 1$となる。

求める確率は$\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\times 0 + \frac{1}{4}\times 0+0 = \frac{1}{16}$

1回目の試行で1が5,4の下に入った時、2回目の試行で2が5,4の下に入る必要がある。したがって、

$\frac{2}{4} \times \frac{2}{4} = \frac{4}{16}=\frac{1}{4}$

(2) 1回目は1番上のカードである1が5より上に入る必要がある。つまり、1が4, 3, 2の下に入ればよい。その確率は$\frac{3}{4}$

残りの4回は5より下に入る。

1回目以外の4回の試行は、1のカードが入った位置に関わらず、1回目以外はどの回も1番上のカードが5の下に入る確率は$\frac{1}{4}$。したがって、求める確率は $(\frac{1}{4})^4 = \frac{1}{256}$

答えは $\frac{3}{4} \times \frac{1}{256} = \frac{3}{1024}$

(3) 2回目は1番上のカードが5より上に入り(確率は$\frac{3}{4}$), 2回目以外の4回の試行は5より下に入る確率を求めれば良い。2回目以外の3回の試行は5より下に入る確率は$(\frac{1}{4})^3$である。この場合のカードは、2が1番上のカードであるので、2が5より上に入る確率は$\frac{3}{4}$。それ以外の確率は$\frac{1}{4}$。したがって、求める確率は$\frac{3}{4} \times \frac{3}{4} \times (\frac{1}{4})^3 = \frac{9}{1024}$

(4) 5回の試行の結果、5がカードの山の1番上になる確率

初期状態では1が一番上なので、最初の試行で1を取り除く。5が一番上になるためには、1, 2, 3, 4を5の下に入れる必要があり、順番が重要である。つまり、1を5の下に入れ、次に2を5の下に入れ、次に3を5の下に入れ、最後に4を5の下に入れる。したがって、確率は

$\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{256}$

(5) 5回の試行の結果、4がカードの山の1番上になる確率

初期状態では1が一番上なので、最初の試行で1を取り除く。4が一番上になるためには、1, 2, 3を4の下に入れる必要があり、順番が重要である。つまり、1をどこかに入れ、次に2をどこかに入れ、次に3をどこかに入れる。

1,2,3をどこに入れた場合でも、最後に4が先頭にくる確率は$\frac{1}{4}$。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{4}$

(2) $\frac{3}{1024}$

(3) $\frac{9}{1024}$

(4) $\frac{1}{256}$

(5) 解答不能