次の定積分を計算してください。 $\int_{1}^{2} (\frac{3}{10}x^2 - \frac{2}{10}x + \frac{3}{10}) dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算してください。

$\int_{1}^{2} (\frac{3}{10}x^2 - \frac{2}{10}x + \frac{3}{10}) dx$

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算します。

$\int (\frac{3}{10}x^2 - \frac{2}{10}x + \frac{3}{10}) dx = \frac{3}{10} \int x^2 dx - \frac{2}{10} \int x dx + \frac{3}{10} \int dx$

$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C_1$

$\int x dx = \frac{x^2}{2} + C_2$

$\int dx = x + C_3$

よって、不定積分は

$\frac{3}{10} \cdot \frac{x^3}{3} - \frac{2}{10} \cdot \frac{x^2}{2} + \frac{3}{10} x + C = \frac{x^3}{10} - \frac{x^2}{10} + \frac{3}{10} x + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{1}^{2} (\frac{3}{10}x^2 - \frac{2}{10}x + \frac{3}{10}) dx = [\frac{x^3}{10} - \frac{x^2}{10} + \frac{3}{10} x]_{1}^{2}$

$= (\frac{2^3}{10} - \frac{2^2}{10} + \frac{3}{10} \cdot 2) - (\frac{1^3}{10} - \frac{1^2}{10} + \frac{3}{10} \cdot 1)$

$= (\frac{8}{10} - \frac{4}{10} + \frac{6}{10}) - (\frac{1}{10} - \frac{1}{10} + \frac{3}{10})$

$= \frac{10}{10} - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$

3. 最終的な答え

$\frac{7}{10}$