次の定積分を求めます。 $\int_{1}^{3} (60x^2 - 40x + 10) \, dx$

1. 問題の内容

次の定積分を求めます。

$\int_{1}^{3} (60x^2 - 40x + 10) \, dx$

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を積分します。

$\int (60x^2 - 40x + 10) \, dx = 60 \int x^2 \, dx - 40 \int x \, dx + 10 \int 1 \, dx$

$= 60 \cdot \frac{x^3}{3} - 40 \cdot \frac{x^2}{2} + 10x + C$

$= 20x^3 - 20x^2 + 10x + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{1}^{3} (60x^2 - 40x + 10) \, dx = [20x^3 - 20x^2 + 10x]_{1}^{3}$

$= (20 \cdot 3^3 - 20 \cdot 3^2 + 10 \cdot 3) - (20 \cdot 1^3 - 20 \cdot 1^2 + 10 \cdot 1)$

$= (20 \cdot 27 - 20 \cdot 9 + 30) - (20 - 20 + 10)$

$= (540 - 180 + 30) - (10)$

$= 390 - 10 = 380$

3. 最終的な答え

380