与えられた定積分の和を計算します。つまり、 $\int_{-1}^{2} (9x^2 + 8x + 7) \, dx + \int_{2}^{3} (9x^2 + 8x + 7) \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分の和を計算します。つまり、

$\int_{-1}^{2} (9x^2 + 8x + 7) \, dx + \int_{2}^{3} (9x^2 + 8x + 7) \, dx$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算します。

$\int (9x^2 + 8x + 7) \, dx = 9 \int x^2 \, dx + 8 \int x \, dx + 7 \int 1 \, dx = 9 \cdot \frac{x^3}{3} + 8 \cdot \frac{x^2}{2} + 7x + C = 3x^3 + 4x^2 + 7x + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{-1}^{2} (9x^2 + 8x + 7) \, dx = [3x^3 + 4x^2 + 7x]_{-1}^{2} = (3(2)^3 + 4(2)^2 + 7(2)) - (3(-1)^3 + 4(-1)^2 + 7(-1)) = (3(8) + 4(4) + 14) - (3(-1) + 4(1) - 7) = (24 + 16 + 14) - (-3 + 4 - 7) = (54) - (-6) = 54 + 6 = 60$

$\int_{2}^{3} (9x^2 + 8x + 7) \, dx = [3x^3 + 4x^2 + 7x]_{2}^{3} = (3(3)^3 + 4(3)^2 + 7(3)) - (3(2)^3 + 4(2)^2 + 7(2)) = (3(27) + 4(9) + 21) - (3(8) + 4(4) + 14) = (81 + 36 + 21) - (24 + 16 + 14) = (138) - (54) = 84$

最後に、定積分の和を計算します。

$\int_{-1}^{2} (9x^2 + 8x + 7) \, dx + \int_{2}^{3} (9x^2 + 8x + 7) \, dx = 60 + 84 = 144$

別の解法：

積分区間がつながっているので、

$\int_{-1}^{2} (9x^2 + 8x + 7) \, dx + \int_{2}^{3} (9x^2 + 8x + 7) \, dx = \int_{-1}^{3} (9x^2 + 8x + 7) \, dx$

$\int_{-1}^{3} (9x^2 + 8x + 7) \, dx = [3x^3 + 4x^2 + 7x]_{-1}^{3} = (3(3)^3 + 4(3)^2 + 7(3)) - (3(-1)^3 + 4(-1)^2 + 7(-1)) = (3(27) + 4(9) + 21) - (3(-1) + 4(1) - 7) = (81 + 36 + 21) - (-3 + 4 - 7) = (138) - (-6) = 138 + 6 = 144$

3. 最終的な答え

144