与えられた定積分の値を計算する問題です。具体的には、 $\int_{1}^{3} (7x^2 - 7x + 7) dx - \int_{5}^{3} (7x^2 - 7x + 7) dx - \int_{1}^{5} (7x^2 - 7x + 7) dx$ の値を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分の値を計算する問題です。具体的には、

$\int_{1}^{3} (7x^2 - 7x + 7) dx - \int_{5}^{3} (7x^2 - 7x + 7) dx - \int_{1}^{5} (7x^2 - 7x + 7) dx$

の値を計算します。

2. 解き方の手順

まず、定積分の性質を利用して式を整理します。

$\int_{a}^{b} f(x) dx = -\int_{b}^{a} f(x) dx$

の性質を使うと、

$-\int_{5}^{3} (7x^2 - 7x + 7) dx = \int_{3}^{5} (7x^2 - 7x + 7) dx$

となります。

したがって、元の式は

$\int_{1}^{3} (7x^2 - 7x + 7) dx + \int_{3}^{5} (7x^2 - 7x + 7) dx - \int_{1}^{5} (7x^2 - 7x + 7) dx$

となります。

さらに、$\int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx$

の性質を使うと、

$\int_{1}^{3} (7x^2 - 7x + 7) dx + \int_{3}^{5} (7x^2 - 7x + 7) dx = \int_{1}^{5} (7x^2 - 7x + 7) dx$

となります。

したがって、元の式は

$\int_{1}^{5} (7x^2 - 7x + 7) dx - \int_{1}^{5} (7x^2 - 7x + 7) dx = 0$

となります。

3. 最終的な答え

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