次の定積分を計算します。 $\int_{1}^{3} (-9x^2 - 8x + 5) \, dx + \int_{3}^{1} (-9x^2 - 8x + 5) \, dx + \int_{-2}^{1} (-9x^2 - 8x + 5) \, dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{1}^{3} (-9x^2 - 8x + 5) \, dx + \int_{3}^{1} (-9x^2 - 8x + 5) \, dx + \int_{-2}^{1} (-9x^2 - 8x + 5) \, dx$

2. 解き方の手順

まず、定積分の性質を利用して積分区間をまとめます。

$\int_{3}^{1} (-9x^2 - 8x + 5) \, dx = -\int_{1}^{3} (-9x^2 - 8x + 5) \, dx$

であるため、与えられた式は

$\int_{1}^{3} (-9x^2 - 8x + 5) \, dx - \int_{1}^{3} (-9x^2 - 8x + 5) \, dx + \int_{-2}^{1} (-9x^2 - 8x + 5) \, dx = \int_{-2}^{1} (-9x^2 - 8x + 5) \, dx$

となります。

次に、不定積分を計算します。

$\int (-9x^2 - 8x + 5) \, dx = -9 \int x^2 \, dx - 8 \int x \, dx + 5 \int 1 \, dx = -9 \cdot \frac{x^3}{3} - 8 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C = -3x^3 - 4x^2 + 5x + C$

最後に、定積分を計算します。

$\int_{-2}^{1} (-9x^2 - 8x + 5) \, dx = [-3x^3 - 4x^2 + 5x]_{-2}^{1} = (-3(1)^3 - 4(1)^2 + 5(1)) - (-3(-2)^3 - 4(-2)^2 + 5(-2)) = (-3 - 4 + 5) - (-3(-8) - 4(4) - 10) = (-2) - (24 - 16 - 10) = -2 - (-2) = -2 + 2 = 0$

3. 最終的な答え

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