第 $n$ 項が $4n+5$ で表される数列が等差数列であることを証明し、その数列の初項と公差を求める。

1. 問題の内容

第 $n$ 項が $4n+5$ で表される数列が等差数列であることを証明し、その数列の初項と公差を求める。

2. 解き方の手順

数列の第 $n$ 項を $a_n$ とすると、 $a_n = 4n + 5$ である。

数列が等差数列であることを示すには、$a_{n+1} - a_n$ が $n$ に依存しない定数であることを示せば良い。

$a_{n+1}$ を計算する。

$a_{n+1} = 4(n+1) + 5 = 4n + 4 + 5 = 4n + 9$

$a_{n+1} - a_n$ を計算する。

$a_{n+1} - a_n = (4n + 9) - (4n + 5) = 4n + 9 - 4n - 5 = 4$

$a_{n+1} - a_n = 4$ は $n$ に依存しない定数であるため、この数列は等差数列である。

次に、初項 $a_1$ を求める。

$a_1 = 4(1) + 5 = 4 + 5 = 9$

公差は $a_{n+1} - a_n$ であり、これは $4$ と計算された。

3. 最終的な答え

この数列は等差数列であり、初項は $9$ で、公差は $4$ である。