ある工場で、製品の中から無作為に900個を選んで調べたところ、90個の不良品があった。製品全体における不良率$p$を信頼度95%で推定する。

1. 問題の内容

ある工場で、製品の中から無作為に900個を選んで調べたところ、90個の不良品があった。製品全体における不良率$p$を信頼度95%で推定する。

2. 解き方の手順

不良率の信頼区間を求める。標本比率を$\hat{p}$、標本数を$n$、信頼係数を$z_{\alpha/2}$とすると、信頼区間は以下の式で表される。

$\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

まず、標本比率$\hat{p}$を計算する。

$\hat{p} = \frac{不良品の個数}{標本数} = \frac{90}{900} = 0.1$

次に、信頼度95%に対応する信頼係数$z_{\alpha/2}$を求める。信頼度95%の場合、$\alpha = 0.05$となり、$\alpha/2 = 0.025$である。標準正規分布表から、$z_{0.025} \approx 1.96$となる。

標本数$n = 900$である。

これらの値を信頼区間の式に代入する。

$0.1 \pm 1.96 \sqrt{\frac{0.1(1-0.1)}{900}}$

$0.1 \pm 1.96 \sqrt{\frac{0.1 \times 0.9}{900}}$

$0.1 \pm 1.96 \sqrt{\frac{0.09}{900}}$

$0.1 \pm 1.96 \times \frac{0.3}{30}$

$0.1 \pm 1.96 \times 0.01$

$0.1 \pm 0.0196$

信頼区間の下限は$0.1 - 0.0196 = 0.0804$

信頼区間の上限は$0.1 + 0.0196 = 0.1196$

3. 最終的な答え

製品全体における不良率$p$の95%信頼区間は、$0.0804 \leq p \leq 0.1196$、すなわち約8.04%から11.96%である。