袋の中に1から8までの数字が書かれたカードが1枚ずつ入っている。袋から1枚取り出して元に戻す操作を4回繰り返す。取り出されたカードの数をそれぞれ$a, b, c, d$とする。 (1) $a+b+c+d=6$となる確率を求めよ。 (2) $abcd$が奇数となる確率を求めよ。 (3) $(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)=0$となる確率を求めよ。

以下に、問題の解答を示します。

1. 問題の内容

袋の中に1から8までの数字が書かれたカードが1枚ずつ入っている。袋から1枚取り出して元に戻す操作を4回繰り返す。取り出されたカードの数をそれぞれ$a, b, c, d$とする。

(1) $a+b+c+d=6$となる確率を求めよ。

(2) $abcd$が奇数となる確率を求めよ。

(3) $(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)=0$となる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a, b, c, d$は1から8までの整数である。$a+b+c+d=6$となる組み合わせを考える。

$a, b, c, d$の最小値は1なので、$a+b+c+d \geq 4$である。

$a+b+c+d=6$となるのは、例えば$(1, 1, 1, 3), (1, 1, 2, 2)$のような場合である。

ここで、$a'=a-1, b'=b-1, c'=c-1, d'=d-1$とおくと、$a', b', c', d'$は0から7までの整数であり、$a'+b'+c'+d'=a+b+c+d-4=6-4=2$となる。

$a'+b'+c'+d'=2$となる非負整数の組み合わせの数は、重複組み合わせを用いて${4+2-1 \choose 2} = {5 \choose 2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通りである。

全事象は$8^4 = 4096$通りなので、確率は$\frac{10}{4096} = \frac{5}{2048}$となる。

(2) $abcd$が奇数となるのは、$a, b, c, d$が全て奇数の場合である。1から8までの奇数は1, 3, 5, 7の4つである。

$a, b, c, d$が全て奇数である確率は、$(\frac{4}{8})^4 = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$である。

(3) $(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)=0$となるのは、$a-1=0$または$b-1=0$または$c-1=0$または$d-1=0$のときである。つまり、$a, b, c, d$の少なくとも1つが1となる場合である。

$a, b, c, d$の全てが1でない確率は、$(\frac{7}{8})^4 = \frac{2401}{4096}$である。

したがって、少なくとも1つが1となる確率は、$1 - (\frac{7}{8})^4 = 1 - \frac{2401}{4096} = \frac{4096 - 2401}{4096} = \frac{1695}{4096}$である。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{2048}$

(2) $\frac{1}{16}$

(3) $\frac{1695}{4096}$