大小2つのサイコロを同時に投げます。大きいサイコロの出目をX、小さいサイコロの出目をYとするとき、E(X), E(X-Y), V(X), V(-2Y+9), E(XY)の値を求めます。

1. 問題の内容

大小2つのサイコロを同時に投げます。大きいサイコロの出目をX、小さいサイコロの出目をYとするとき、E(X), E(X-Y), V(X), V(-2Y+9), E(XY)の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) E(X)

Xは1から6の値を等確率でとるので、期待値は

$E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 7/2$

したがって、1 = 7, 2 = 2

(2) E(X-Y)

期待値の線形性より、$E(X-Y) = E(X) - E(Y)$。

$E(X) = 7/2$であり、Yも1から6の値を等確率でとるので、$E(Y) = 7/2$。

よって、$E(X-Y) = 7/2 - 7/2 = 0$

したがって、3 = 0

(3) V(X)

分散の定義より、$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

$E(X) = 7/2$であり、$E(X^2) = (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2)/6 = (1+4+9+16+25+36)/6 = 91/6$

$V(X) = 91/6 - (7/2)^2 = 91/6 - 49/4 = (182 - 147)/12 = 35/12$

したがって、4 = 3, 5 = 5, 6 = 1, 7 = 2

(4) V(-2Y+9)

分散の性質より、$V(aX+b) = a^2V(X)$。

したがって、$V(-2Y+9) = (-2)^2V(Y) = 4V(Y)$

$V(Y) = V(X) = 35/12$なので、$V(-2Y+9) = 4 * 35/12 = 35/3$

したがって、8 = 3, 9 = 5, 10 = 3

(5) E(XY)

XとYは独立なので、$E(XY) = E(X)E(Y)$

$E(X) = 7/2$、$E(Y) = 7/2$なので、$E(XY) = (7/2)(7/2) = 49/4$

したがって、11 = 4, 12 = 9, 13 = 4

3. 最終的な答え

E(X) = 7/2

E(X-Y) = 0

V(X) = 35/12

V(-2Y+9) = 35/3

E(XY) = 49/4