確率変数 $X$ のとる値の範囲が $-3 \leq x \leq 3$ であり、その確率密度関数が $f(x) = ax^2$ である。 (1) $a$ の値を求める。 (2) $P(-1 \leq x \leq 2)$, $E(X)$, $V(X)$ の値を求める。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ のとる値の範囲が $-3 \leq x \leq 3$ であり、その確率密度関数が $f(x) = ax^2$ である。

(1) $a$ の値を求める。

(2) $P(-1 \leq x \leq 2)$, $E(X)$, $V(X)$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 確率密度関数の性質より、区間全体での積分が 1 になることを利用する。

すなわち、

$\int_{-3}^{3} ax^2 dx = 1$

$a \int_{-3}^{3} x^2 dx = 1$

$a \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_{-3}^{3} = 1$

$a \left( \frac{1}{3}(3^3) - \frac{1}{3}(-3)^3 \right) = 1$

$a \left( \frac{27}{3} - \frac{-27}{3} \right) = 1$

$a (9 + 9) = 1$

$18a = 1$

$a = \frac{1}{18}$

(2)

$P(-1 \leq x \leq 2) = \int_{-1}^{2} \frac{1}{18}x^2 dx$

$P(-1 \leq x \leq 2) = \frac{1}{18} \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_{-1}^{2}$

$P(-1 \leq x \leq 2) = \frac{1}{18} \left( \frac{1}{3}(2^3) - \frac{1}{3}(-1)^3 \right)$

$P(-1 \leq x \leq 2) = \frac{1}{18} \left( \frac{8}{3} - \frac{-1}{3} \right)$

$P(-1 \leq x \leq 2) = \frac{1}{18} \left( \frac{9}{3} \right)$

$P(-1 \leq x \leq 2) = \frac{1}{18} \times 3 = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$

$E(X) = \int_{-3}^{3} x f(x) dx = \int_{-3}^{3} x \cdot \frac{1}{18}x^2 dx = \frac{1}{18} \int_{-3}^{3} x^3 dx$

$E(X) = \frac{1}{18} \left[ \frac{1}{4}x^4 \right]_{-3}^{3} = \frac{1}{18} \left( \frac{1}{4}(3^4) - \frac{1}{4}(-3)^4 \right) = \frac{1}{18} ( \frac{81}{4} - \frac{81}{4}) = \frac{1}{18} \times 0 = 0$

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = E(X^2) - 0^2 = E(X^2)$

$E(X^2) = \int_{-3}^{3} x^2 f(x) dx = \int_{-3}^{3} x^2 \cdot \frac{1}{18}x^2 dx = \frac{1}{18} \int_{-3}^{3} x^4 dx$

$E(X^2) = \frac{1}{18} \left[ \frac{1}{5}x^5 \right]_{-3}^{3} = \frac{1}{18} \left( \frac{1}{5}(3^5) - \frac{1}{5}(-3)^5 \right) = \frac{1}{18} \left( \frac{243}{5} - \frac{-243}{5} \right)$

$E(X^2) = \frac{1}{18} \left( \frac{486}{5} \right) = \frac{486}{90} = \frac{243}{45} = \frac{81}{15} = \frac{27}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1}{18}$

(2) $P(-1 \leq x \leq 2) = \frac{1}{6}$

$E(X) = 0$

$V(X) = \frac{27}{5}$