1から20までの数字が書かれた正二十面体のサイコロを1200回投げます。5以下の目が出る回数を$X$とするとき、$X$が270以下の値となる確率を求めます。ただし、二項分布は正規分布で近似してよいものとします。

1. 問題の内容

1から20までの数字が書かれた正二十面体のサイコロを1200回投げます。5以下の目が出る回数を$X$とするとき、$X$が270以下の値となる確率を求めます。ただし、二項分布は正規分布で近似してよいものとします。

2. 解き方の手順

まず、1回の試行で5以下の目が出る確率$p$を求めます。

$p = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} = 0.25$

次に、$X$は二項分布に従います。$X \sim B(n, p)$。ここで、$n=1200$、$p=0.25$です。

二項分布を正規分布で近似するため、平均$\mu$と標準偏差$\sigma$を計算します。

$\mu = np = 1200 \times 0.25 = 300$

$\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{1200 \times 0.25 \times 0.75} = \sqrt{225} = 15$

$X$が270以下の値となる確率を求めるために、標準化を行います。

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{270 - 300}{15} = \frac{-30}{15} = -2$

ここで、連続修正を行います。$P(X \leq 270)$を求める代わりに、$P(X \leq 270.5)$を求めます。

$Z = \frac{270.5 - 300}{15} = \frac{-29.5}{15} \approx -1.967$

標準正規分布表（または電卓など）を用いて、$P(Z \leq -1.967)$を求めます。$P(Z \leq -1.97) \approx 0.0244$

求める確率は約2.44%です。

3. 最終的な答え

2. 4