Aが3枚、Bが3枚、Cが2枚の合計8枚のカードから3枚を無作為に選ぶとき、同じアルファベットが2枚だけ含まれる確率を求める問題です。

1. 問題の内容

Aが3枚、Bが3枚、Cが2枚の合計8枚のカードから3枚を無作為に選ぶとき、同じアルファベットが2枚だけ含まれる確率を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、8枚のカードから3枚を選ぶすべての場合の数を計算します。これは組み合わせの問題なので、

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{}_8 C_3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56

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次に、同じアルファベットが2枚だけ含まれる場合の数を計算します。これは以下の3つのパターンに分けられます。

(a) Aが2枚と他のアルファベット1枚の場合:

Aが2枚選ばれるのは ${}_3 C_2 = 3$ 通り。残りの1枚はBかCなので、${}_3 C_1 + {}_2 C_1 = 3 + 2 = 5$ 通り。

したがって、Aが2枚の場合の数は $3 \times 5 = 15$ 通り。

(b) Bが2枚と他のアルファベット1枚の場合:

Bが2枚選ばれるのは ${}_3 C_2 = 3$ 通り。残りの1枚はAかCなので、${}_3 C_1 + {}_2 C_1 = 3 + 2 = 5$ 通り。

したがって、Bが2枚の場合の数は $3 \times 5 = 15$ 通り。

(c) Cが2枚と他のアルファベット1枚の場合:

Cが2枚選ばれるのは ${}_2 C_2 = 1$ 通り。残りの1枚はAかBなので、${}_3 C_1 + {}_3 C_1 = 3 + 3 = 6$ 通り。

したがって、Cが2枚の場合の数は $1 \times 6 = 6$ 通り。

合計すると、$15 + 15 + 6 = 36$ 通り。

ただし、Aが2枚とBが1枚の場合と、Aが1枚とBが2枚の場合を考慮する必要があります。

同じアルファベットが2枚だけ含まれる組み合わせの総数は36です。

求める確率は、同じアルファベットが2枚だけ含まれる場合の数を、3枚を選ぶすべての場合の数で割ったものです。

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\frac{36}{56} = \frac{9}{14}

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3. 最終的な答え

$\frac{9}{14}$