実数 $a$ に関する条件 $p$, $q$, $r$ が与えられている。 $p: a^2 \ge 2a + 8$ $q: a \le -2$ または $a \ge 4$ $r: a \ge 5$ (1) $q$ は $p$ であるための何条件かを答える。 (2) $\bar{q}$ と $\bar{r}$ を用いて、命題「$p$ ならば [ケ] 」と命題「[コ] ならば $p$」が真となるように[ケ]と[コ]を埋める。

1. 問題の内容

実数 $a$ に関する条件 $p$, $q$, $r$ が与えられている。

$p: a^2 \ge 2a + 8$

$q: a \le -2$ または $a \ge 4$

$r: a \ge 5$

(1) $q$ は $p$ であるための何条件かを答える。

(2) $\bar{q}$ と $\bar{r}$ を用いて、命題「$p$ ならば [ケ] 」と命題「[コ] ならば $p$」が真となるように[ケ]と[コ]を埋める。

2. 解き方の手順

(1) $p: a^2 \ge 2a + 8$ より $a^2 - 2a - 8 \ge 0$ であるから $(a-4)(a+2) \ge 0$。よって $a \le -2$ または $a \ge 4$。

したがって、$p$ と $q$ は同値である。したがって、$q$ は $p$ であるための必要十分条件である。

(2)

まず、条件 $\bar{q}$ と $\bar{r}$ を求める。

$q: a \le -2$ または $a \ge 4$ の否定は、$-2 < a < 4$ なので $\bar{q}: -2 < a < 4$ である。

$r: a \ge 5$ の否定は、$\bar{r}: a < 5$ である。

(a) 命題「$p$ ならば [ケ] 」について考える。$p$ は $a \le -2$ または $a \ge 4$ である。

[ケ] が $\bar{q}$ かつ $\bar{r}$ のとき、 $-2 < a < 4$ かつ $a < 5$ であるので $-2 < a < 4$ となる。$a \le -2$ または $a \ge 4$ から $-2 < a < 4$ を導くことはできないので不適。

[ケ] が $\bar{q}$ または $\bar{r}$ のとき、 $-2 < a < 4$ または $a < 5$ であるので $a < 5$ となる。$a \le -2$ または $a \ge 4$ から $a < 5$ を導くことはできないので不適。

[ケ] が $\bar{q}$ かつ $\bar{r}$ のとき、 $-2 < a < 4$ かつ $a < 5$ であるので $-2 < a < 4$ となる。これは$\bar{q}$かつ$\bar{r}$と同じである。

[ケ] が $\bar{q}$ または $\bar{r}$ のとき、$-2 < a < 4$ または $a < 5$ であるので $a < 5$ となる。これも$\bar{q}$または$\bar{r}$と同じである。

ここで$p$は$q$と同値なので、$q$から[ケ]が導かれるものを探す。

$\bar{q}$ は $-2 < a < 4$ であり、$q$ は $a \le -2$ または $a \ge 4$ なので、$q$ ならば $\bar{q}$ は真ではない。

$a \le -2$ または $a \ge 4$ ならば $a < 5$ は真である。

したがって、ケは$\bar{q}$または$\bar{r}$。

(b) 命題「[コ] ならば $p$」について考える。$p$ は $a \le -2$ または $a \ge 4$ である。

[コ] が $\bar{q}$ かつ $\bar{r}$ のとき、 $-2 < a < 4$ かつ $a < 5$ であるので $-2 < a < 4$ となる。

$-2 < a < 4$ ならば $a \le -2$ または $a \ge 4$ は真ではない。

[コ] が $\bar{q}$ または $\bar{r}$ のとき、 $-2 < a < 4$ または $a < 5$ であるので $a < 5$ となる。

$a < 5$ ならば $a \le -2$ または $a \ge 4$ は真ではない。

ここで$p$は$q$と同値なので、[コ]から$q$が導かれるものを探す。

$\bar{r}$ は $a < 5$ であり、$r$ は $a \ge 5$ なので、$\bar{r}$ ならば $r$ は真ではない。

$\bar{q}$ かつ $\bar{r}$ は $-2 < a < 4$ かつ $a < 5$ なので $-2 < a < 4$ であり、これは $a \le -2$ または $a \ge 4$ ではない。

$\bar{q}$ または $\bar{r}$ は $-2 < a < 4$ または $a < 5$ なので $a < 5$ であり、これは $a \le -2$ または $a \ge 4$ ではない。

$p$ と $q$ は同値なので $q$ が得られる必要がある。

$q$ は $a \le -2$ または $a \ge 4$ であり、[コ] が $\bar{q}$ かつ $\bar{r}$ のとき、 $-2 < a < 4$ であるから成立しない。

[コ] が $\bar{q}$ または $\bar{r}$ のとき、$a < 5$ であるから成立しない。

[コ]を否定形にすると、$\bar{q}$ かつ $\bar{r}$ の否定は、$q$ または $r$ であり、$q$ または $r$ ならば $p$ は真である。

$\bar{q}$ または $\bar{r}$ の否定は、$q$ かつ $r$ であり、$a \ge 4$ かつ $a \ge 5$ であるので、$a \ge 5$ となる。このとき、$a \ge 5$ ならば $a \le -2$ または $a \ge 4$ は真である。したがってコは$\bar{q}$または$\bar{r}$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) ケ: 3, コ: 3