ある電球の寿命の平均は1500時間、標準偏差は450時間であることがわかっている。改良型電球を100個選び寿命を計測したところ、平均は1581時間だった。改良により電球の寿命が延びたと言えるか、有意水準5%で片側検定を行う。帰無仮説を立て、標準正規分布を用いて検定統計量を計算し、帰無仮説を棄却できるか判断する問題です。

1. 問題の内容

ある電球の寿命の平均は1500時間、標準偏差は450時間であることがわかっている。改良型電球を100個選び寿命を計測したところ、平均は1581時間だった。改良により電球の寿命が延びたと言えるか、有意水準5%で片側検定を行う。帰無仮説を立て、標準正規分布を用いて検定統計量を計算し、帰無仮説を棄却できるか判断する問題です。

2. 解き方の手順

まず、帰無仮説を立てます。改良型電球の平均寿命を $m$ とすると、帰無仮説は「$m = 1500$」となります。つまり、改良前後で平均寿命が変わらないという仮説を立てます。

次に、標本平均$\bar{X}$の分布を確認します。母平均1500、母分散$\frac{450^2}{100}$の正規分布$N(1500, \frac{450^2}{100})$に従います。

次に、標準化された検定統計量$Z$を計算する式を求めます。

$Z = \frac{\bar{X} - 1500}{\sqrt{\frac{450^2}{100}}} = \frac{\bar{X} - 1500}{\frac{450}{10}} = \frac{\bar{X} - 1500}{45}$となります。

この$Z$は標準正規分布$N(0, 1)$に従うとみなせます。

有意水準5%の棄却域は、$Z \geq 1.64$です。

$\bar{X} = 1581$のときの$Z$の値を計算します。

$Z = \frac{1581 - 1500}{45} = \frac{81}{45} = 1.8$

計算した$Z$の値1.8が棄却域$Z \geq 1.64$に含まれるかどうかを確認します。1.8は1.64より大きいので、帰無仮説は棄却されます。

3. 最終的な答え

1: 1500

5: 1500

6: 1500

9: 450

10: 10

11:

1. 12: 8