袋の中に、2の番号のカードが3枚、3の番号のカードが2枚、合計5枚のカードが入っている。A君が1枚カードを引き、戻さずにB君が2枚同時にカードを引く。A君の引いたカードの番号をX、B君の引いた2枚のカードの積をYとする。以下の確率と期待値を求める。 * $P(X=2, Y=4)$ * $P(X=2, Y=6)$ * $P(Y=6)$ * $E(Y)$ * $E(X+Y)$

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

袋の中に、2の番号のカードが3枚、3の番号のカードが2枚、合計5枚のカードが入っている。A君が1枚カードを引き、戻さずにB君が2枚同時にカードを引く。A君の引いたカードの番号をX、B君の引いた2枚のカードの積をYとする。以下の確率と期待値を求める。

* $P(X=2, Y=4)$

* $P(X=2, Y=6)$

* $P(Y=6)$

* $E(Y)$

* $E(X+Y)$

2. 解き方の手順

* $P(X=2, Y=4)$:

A君が2を引き、B君が2枚引いたカードの積が4になる確率。

A君が2を引く確率は $3/5$ 。

A君が2を引いた後、残りのカードは2が2枚、3が2枚。

B君が2枚引いて積が4になるのは、2を2枚引く場合のみ。

2を2枚引く確率は ${}_2C_2 / {}_4C_2 = 1 / (4*3/2) = 1/6$ 。

したがって、$P(X=2, Y=4) = (3/5) * (1/6) = 3/30 = 1/10$ 。

* $P(X=2, Y=6)$:

A君が2を引き、B君が2枚引いたカードの積が6になる確率。

A君が2を引く確率は $3/5$ 。

A君が2を引いた後、残りのカードは2が2枚、3が2枚。

B君が2枚引いて積が6になるのは、2と3を1枚ずつ引く場合。

2と3を1枚ずつ引く確率は ${}_2C_1 {}_2C_1 / {}_4C_2 = (2*2) / 6 = 4/6 = 2/3$ 。

したがって、$P(X=2, Y=6) = (3/5) * (2/3) = 6/15 = 2/5$ 。

* $P(Y=6)$:

B君が引いた2枚のカードの積が6になる確率。

B君が積が6になるのは、2と3を引く場合。

全体の場合の数は ${}_5C_2 = 10$。

2と3を引く場合の数は $3*2=6$。

したがって、$P(Y=6) = 6/10 = 3/5$。

* $E(Y)$:

Yの取りうる値は、4 (2x2)、6 (2x3)、9 (3x3)。

$P(Y=4)$: B君が2を2枚引く確率。${}_3C_2 / {}_5C_2 = 3/10$

$P(Y=6)$: B君が2と3を1枚ずつ引く確率。${}_3C_1 {}_2C_1 / {}_5C_2 = 6/10 = 3/5$

$P(Y=9)$: B君が3を2枚引く確率。${}_2C_2 / {}_5C_2 = 1/10$

$E(Y) = 4*(3/10) + 6*(6/10) + 9*(1/10) = (12 + 36 + 9) / 10 = 57/10$

* $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$:

$E(X) = 2*(3/5) + 3*(2/5) = 6/5 + 6/5 = 12/5$

$E(Y) = 57/10$

$E(X+Y) = 12/5 + 57/10 = 24/10 + 57/10 = 81/10$

3. 最終的な答え

* $P(X=2, Y=4) = 1/10$

* $P(X=2, Y=6) = 2/5$

* $P(Y=6) = 3/5$

* $E(Y) = 57/10$

* $E(X+Y) = 81/10$