白玉2つと赤玉5つが入っている袋から1個の玉を取り出し、色を調べてから袋に戻す操作を40回繰り返す。白玉を取り出す回数$X$は二項分布$B(n, p)$に従う。$n$と$p$、および、$E(X)$, $V(X)$, $\sigma(X)$を求めよ。

1. 問題の内容

白玉2つと赤玉5つが入っている袋から1個の玉を取り出し、色を調べてから袋に戻す操作を40回繰り返す。白玉を取り出す回数$X$は二項分布$B(n, p)$に従う。$n$と$p$、および、$E(X)$, $V(X)$, $\sigma(X)$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 問題文より、$n = 40$である。

袋の中には白玉2つと赤玉5つ、合計7つの玉が入っている。

白玉を取り出す確率は$p = \frac{2}{7}$である。

したがって、白玉を取り出す回数$X$は二項分布$B(40, \frac{2}{7})$に従う。

(2) 二項分布$B(n, p)$に従う確率変数$X$について、期待値$E(X)$, 分散$V(X)$, 標準偏差$\sigma(X)$はそれぞれ以下の式で計算される。

$E(X) = np$

$V(X) = np(1-p)$

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$

$E(X) = 40 \times \frac{2}{7} = \frac{80}{7}$

$V(X) = 40 \times \frac{2}{7} \times (1 - \frac{2}{7}) = 40 \times \frac{2}{7} \times \frac{5}{7} = \frac{400}{49}$

$\sigma(X) = \sqrt{\frac{400}{49}} = \frac{\sqrt{400}}{\sqrt{49}} = \frac{20}{7}$

3. 最終的な答え

1 = 40

2 = 2/7

5, 6, 7 = 80/7

8, 9, 10, 11, 12 = 400/49

13, 14, 15 = 20/7