2次関数 $y = x^2 - 2mx + m + 2$ のグラフと $x$ 軸の $x > 1$ の部分が異なる2点で交わるように、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2mx + m + 2$ のグラフと $x$ 軸の $x > 1$ の部分が異なる2点で交わるように、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた2次関数を平方完成すると、$y = (x - m)^2 - m^2 + m + 2$ となります。

グラフが $x$ 軸の $x > 1$ の部分と異なる2点で交わるためには、以下の条件を満たす必要があります。

(1) 判別式 $D > 0$

(2) 軸の位置 $m > 1$

(3) $f(1) > 0$

(1) 判別式 $D > 0$

$D = (-2m)^2 - 4(1)(m + 2) = 4m^2 - 4m - 8 > 0$

$m^2 - m - 2 > 0$

$(m - 2)(m + 1) > 0$

$m < -1$ または $m > 2$

(2) 軸の位置 $m > 1$

(3) $f(1) > 0$

$f(1) = 1^2 - 2m(1) + m + 2 = 1 - 2m + m + 2 = 3 - m > 0$

$m < 3$

以上の3つの条件をすべて満たす $m$ の範囲を求めます。

$m < -1$ または $m > 2$

$m > 1$

$m < 3$

数直線を書いて考えると、$2 < m < 3$ が条件を満たす範囲となります。

3. 最終的な答え

$2 < m < 3$