$a$ を $0$ でない定数とする。以下の3つの不等式について考える。 * 不等式1: $x + 2 > 2(2x - 5)$ * 不等式2: $\frac{1}{3}x - \frac{1}{4} \geq \frac{-x+2}{6}$ * 不等式3: $|x - a| \geq 2x$ 以下の問いに答える。 * (1) 不等式1を満たす $x$ の範囲を求めよ。 * (2) 不等式1と不等式2を同時に満たす $x$ の範囲を求めよ。 * (3) $a > 0$ のとき、不等式3を満たす $x$ の範囲を求めよ。 * (4) 不等式1, 2, 3を同時に満たす $x$ が存在し、かつ不等式1, 2, 3を同時に満たす $x$ が存在しないような $a$ の値の範囲を求めよ。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

$a$ を $0$ でない定数とする。以下の3つの不等式について考える。

* 不等式1: $x + 2 > 2(2x - 5)$

* 不等式2: $\frac{1}{3}x - \frac{1}{4} \geq \frac{-x+2}{6}$

* 不等式3: $|x - a| \geq 2x$

以下の問いに答える。

* (1) 不等式1を満たす $x$ の範囲を求めよ。

* (2) 不等式1と不等式2を同時に満たす $x$ の範囲を求めよ。

* (3) $a > 0$ のとき、不等式3を満たす $x$ の範囲を求めよ。

* (4) 不等式1, 2, 3を同時に満たす $x$ が存在し、かつ不等式1, 2, 3を同時に満たす $x$ が存在しないような $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

**(1) 不等式1を解く**

$x + 2 > 2(2x - 5)$

$x + 2 > 4x - 10$

$-3x > -12$

$x < 4$

**(2) 不等式1と不等式2を同時に満たすxの範囲を求める**

まず、不等式2を解く。

$\frac{1}{3}x - \frac{1}{4} \geq \frac{-x+2}{6}$

両辺に12をかける。

$4x - 3 \geq 2(-x + 2)$

$4x - 3 \geq -2x + 4$

$6x \geq 7$

$x \geq \frac{7}{6}$

したがって、不等式1と不等式2を同時に満たす $x$ の範囲は、 $\frac{7}{6} \leq x < 4$ となる。

**(3) $a > 0$ のとき、不等式3を満たすxの範囲を求める**

$|x - a| \geq 2x$

場合分けを行う。

* (i) $x \geq a$ のとき

$x - a \geq 2x$

$-x \geq a$

$x \leq -a$

しかし、$x \geq a$ かつ $x \leq -a$ を満たすのは、$a>0$ より $x$ が存在しない。

* (ii) $x < a$ のとき

$-(x - a) \geq 2x$

$-x + a \geq 2x$

$-3x \geq -a$

$x \leq \frac{a}{3}$

したがって、不等式3を満たす $x$ の範囲は、$x \leq \frac{a}{3}$ となる。

**(4) 不等式1, 2, 3を同時に満たすxが存在し、かつ不等式1, 2, 3を同時に満たすxが存在しないようなaの値を求める**

不等式1, 2, 3を同時に満たす $x$ が存在するための条件は、

$\frac{7}{6} \leq x < 4$ かつ $x \leq \frac{a}{3}$ を満たす $x$ が存在することである。

つまり、$\frac{7}{6} \leq \frac{a}{3}$ である必要がある。

$\frac{7}{6} \leq \frac{a}{3}$

$a \geq \frac{7}{2}$

不等式1, 2, 3を同時に満たす $x$ が存在しないための条件は、

$\frac{7}{6} > \frac{a}{3}$ である。

$a < \frac{7}{2}$

問題文の意図を考慮すると、

$\frac{7}{6} \le x < 4$ かつ $x \le \frac{a}{3}$ を満たすxが存在し、かつ $\frac{7}{6} \le x < 4$ かつ $x \le \frac{a}{3}$ を満たすxが存在しない、という条件を満たす$a$の範囲を求める。

「$\frac{7}{6} \le x < 4$ かつ $x \le \frac{a}{3}$ を満たすxが存在しない」というのは、 $\frac{7}{6} > \frac{a}{3}$ つまり $a < \frac{7}{2}$ と同値。

このとき、 $\frac{7}{6} \le x < 4$ と $x \le \frac{a}{3}$ を同時に満たす$x$は存在しない。

ところが、

$\frac{7}{6} \le x < 4$ かつ $x \le \frac{a}{3}$ を満たすxが存在する

ということはあり得ない。

問題文の誤りを指摘し、正しくは、不等式1, 2, 3を同時に満たす $x$ が存在しないような $a$ の値の範囲を求めよ。と解釈する。

この場合、 $a < \frac{7}{2}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $x < 4$

(2) $\frac{7}{6} \leq x < 4$

(3) $x \leq \frac{a}{3}$

(4) $a < \frac{7}{2}$