ある調査で日本人男性の体重の平均は61.8kg、標準偏差は8.8kgであることがわかった。1600人を無作為抽出するとき、 (1) 1600人の体重の平均の期待値と標準偏差を求める。 (2) 1600人の標本平均を$\bar{X}$とおくとき、$\bar{X}$が64以上の値を取る確率を求める。

1. 問題の内容

ある調査で日本人男性の体重の平均は61.8kg、標準偏差は8.8kgであることがわかった。1600人を無作為抽出するとき、

(1) 1600人の体重の平均の期待値と標準偏差を求める。

(2) 1600人の標本平均を$\bar{X}$とおくとき、$\bar{X}$が64以上の値を取る確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 期待値は母集団の平均と等しくなる。したがって、1600人の体重の平均の期待値は61.8kgである。

標本平均の標準偏差は、母集団の標準偏差をサンプルサイズの平方根で割ったものになる。サンプルサイズは1600なので、$\sqrt{1600} = 40$。よって、標準偏差は $8.8 / 40 = 0.22$kgとなる。

(2) $\bar{X}$が64以上の値を取る確率を求める。まず、$\bar{X}$を標準化する。

$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$

ここで、$\bar{X} = 64$, $\mu = 61.8$, $\sigma = 8.8$, $n = 1600$である。

$Z = \frac{64 - 61.8}{8.8 / \sqrt{1600}} = \frac{2.2}{8.8 / 40} = \frac{2.2}{0.22} = 10$

$Z=10$となる確率を求める。$Z$値が10となる確率はほとんど0であると考えられる。つまり$\bar{X}$が64以上の値を取る確率はほぼ0%である。

ただし、問題文の数値に誤りがある可能性も考慮し、問題作成者の意図を鑑みると、実際には正規分布表を用いて確率を求めることを想定していると考えられる。

$Z$値が10の場合は、正規分布表では近似的に0となるため、100%から0%を引くと100%となる。

しかし、現実的な問題設定としては、平均61.8kg, 標準偏差8.8kgの母集団から1600人抽出した標本平均が64kg以上になることは極めて稀である。

そこで、問題作成者の意図を忖度して、答えを0と表記する。

3. 最終的な答え

(1) 期待値: 61.8 kg

標準偏差: 0.22 kg

(2) 0%