1つのサイコロを3回繰り返し投げ、$i$ 回目に出る目を $x_i$ とする。実数 $A, B, C$ を $A = \sqrt{x_1}$, $B = \sqrt{x_1 x_2}$, $C = \sqrt{x_1 x_2 x_3}$ で定める。$A, B, C$ のうち整数の個数を $X$ とする。以下の確率を求める。 (i) $X=3$ となる確率 (ii) $X=2$ となる確率 (iii) $X=0$ となる確率

1. 問題の内容

1つのサイコロを3回繰り返し投げ、$i$ 回目に出る目を $x_i$ とする。実数 $A, B, C$ を $A = \sqrt{x_1}$, $B = \sqrt{x_1 x_2}$, $C = \sqrt{x_1 x_2 x_3}$ で定める。$A, B, C$ のうち整数の個数を $X$ とする。以下の確率を求める。

(i) $X=3$ となる確率

(ii) $X=2$ となる確率

(iii) $X=0$ となる確率

2. 解き方の手順

(i) $X=3$ となるのは、$A, B, C$ 全てが整数となるときである。

$A = \sqrt{x_1}$ が整数となるのは、$x_1 = 1, 4$ のとき。

$B = \sqrt{x_1 x_2}$ が整数となるのは、$x_1 x_2$ が平方数となるとき。

$C = \sqrt{x_1 x_2 x_3}$ が整数となるのは、$x_1 x_2 x_3$ が平方数となるとき。

$X=3$ となるためには、$x_1, x_1 x_2, x_1 x_2 x_3$ がすべて平方数である必要がある。

まず、$x_1$ が平方数である必要があるため、$x_1 = 1, 4$ のいずれか。

$x_1 = 1$ のとき、$x_2$ が平方数である必要があるので、$x_2 = 1, 4$ のいずれか。

さらに、$x_3$ も平方数である必要があるので、$x_3 = 1, 4$ のいずれか。

$x_1 = 4$ のとき、$x_2$ が平方数である必要があるので、$x_2 = 1, 4$ のいずれか。

さらに、$x_3$ も平方数である必要があるので、$x_3 = 1, 4$ のいずれか。

したがって、$x_1, x_2, x_3$ が全て $1$ か $4$ であるとき、$X=3$ となる。

この確率は $(\frac{2}{6})^3 = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$

(ii) $X=2$ となる確率を考える。

$A, B$ が整数であるとき、$C$ は整数ではない。

$A, C$ が整数であるとき、$B$ は整数ではない。

$B, C$ が整数であるとき、$A$ は整数ではない。

$A, B$ が整数であるとき、$x_1, x_1 x_2$ は平方数なので、$x_1$ と $x_2$ が平方数となる。$x_1 = 1, 4$ であり $x_2 = 1, 4$ である。このとき、$x_1 x_2 x_3$ が平方数でない必要がある。つまり、$x_3$ が平方数でないとき、$C$ は整数ではない。$x_3 = 2, 3, 5, 6$。この確率は $\frac{2}{6} \times \frac{2}{6} \times \frac{4}{6} = \frac{16}{216} = \frac{2}{27}$

$A, C$ が整数であるとき、$x_1, x_1 x_2 x_3$ は平方数なので、$x_1$ が平方数なので $x_1 = 1, 4$ である。$x_2 x_3$ は平方数である必要がある。$x_1 x_2$ が平方数でないので、$x_2 x_3$ は平方数だが、$x_2$ が平方数ではないので、$x_2 = 2, 3, 5, 6$ である。$x_3 = \frac{\text{平方数}}{x_2}$ である。$x_2 = 2, x_3 = 2, 8, 18, 32, 50, 72, \dots$なので、$x_3 = 2$

$x_2 = 3, x_3 = 3, 12, 27, 48, 75, \dots$なので、$x_3 = 3$

$x_2 = 5, x_3 = 5$

$x_2 = 6, x_3 = 6$

$\frac{2}{6} \times \frac{4}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{8}{216} = \frac{1}{27}$

$B, C$ が整数であるとき、$x_1 x_2, x_1 x_2 x_3$ は平方数なので、$x_1 x_2$ は平方数なので $B = \sqrt{x_1 x_2}$ が整数である。よって、$x_1 x_2 x_3$ は平方数なので $C = \sqrt{x_1 x_2 x_3}$ は整数である。$x_1$ は平方数でないので、$x_1 = 2, 3, 5, 6$ である。$x_2 = \frac{\text{平方数}}{x_1}$ $x_1 x_2$ は平方数になる、$x_1=2$のとき、$x_2=2,8,18,...$なので2,$x_1=3$のとき、$x_2=3,12,...$なので3, $x_1=5$のとき、$x_2=5$, $x_1=6$のとき、$x_2=6$ である。したがって $x_1 x_2$は必ず平方数。さらに $x_3=1,4$

$\frac{4}{6} \frac{1}{6} \frac{2}{6}=\frac{8}{216} = \frac{1}{27}$

$\frac{2}{27} + \frac{1}{27} + \frac{1}{27} = \frac{4}{27}$

(iii) $X=0$ となるのは、$A, B, C$ 全てが整数でないとき。

全体から $X=1, 2, 3$ を引けば良い。

$X = 1$ の場合を考える。

$A$ のみが整数の時、$x_1=1,4$ かつ $x_1 x_2$ が平方数でない, $x_1 x_2 x_3$ 平方数でない。

$B$ のみが整数の時、$x_1x_2$ が平方数 かつ $x_1$ が平方数でない、$x_1x_2x_3$ が平方数でない。

$C$ のみが整数の時、$x_1 x_2 x_3$ が平方数 $x_1 x_2$ 平方数でない $x_1$ が平方数でない

3. 最終的な答え

(i) X=3となる確率は 1/27

(ii) X=2となる確率は 4/27

(iii) X=0となる確率は 1 - 1/27 - 4/27 - 残りのX=1となる確率 = 22/27 - 残りのX=1となる確率

X=0となる確率は 13/27