与えられた3つの数 $\sqrt{6}$, $\sqrt[4]{216}$, $\sqrt[3]{36}$ を比較すること。

1. 問題の内容

与えられた3つの数 $\sqrt{6}$, $\sqrt[4]{216}$, $\sqrt[3]{36}$ を比較すること。

2. 解き方の手順

それぞれの数を指数を用いて表し、指数を揃えて比較する。

まず、各数を指数を用いて表す。

$\sqrt{6} = 6^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt[4]{216} = 216^{\frac{1}{4}}$

$\sqrt[3]{36} = 36^{\frac{1}{3}}$

次に、それぞれの数を6の累乗で表す。

$\sqrt{6} = 6^{\frac{1}{2}}$

$216 = 6^3$ なので、$\sqrt[4]{216} = (6^3)^{\frac{1}{4}} = 6^{\frac{3}{4}}$

$36 = 6^2$ なので、$\sqrt[3]{36} = (6^2)^{\frac{1}{3}} = 6^{\frac{2}{3}}$

指数の分母を揃えるために、$\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{2}{3}$ を通分する。分母の最小公倍数は12なので、

$\frac{1}{2} = \frac{6}{12}$

$\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$

$\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$

よって、

$\sqrt{6} = 6^{\frac{6}{12}}$

$\sqrt[4]{216} = 6^{\frac{9}{12}}$

$\sqrt[3]{36} = 6^{\frac{8}{12}}$

指数を比較すると、$\frac{6}{12} < \frac{8}{12} < \frac{9}{12}$ であるから、

$6^{\frac{6}{12}} < 6^{\frac{8}{12}} < 6^{\frac{9}{12}}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{6} < \sqrt[3]{36} < \sqrt[4]{216}$