線形写像 $T$ が与えられたときに、指定された基に関する表現行列を求める。問題は (1) と (2) の2つに分かれている。 (1) $T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ は $T(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} \mathbf{x}$ で与えられ、$\mathbb{R}^3$ の基は $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$、$\mathbb{R}^2$ の基は $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} \right\}$ である。 (2) $T: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ は $T(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & -3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \mathbf{x}$ で与えられ、$\mathbb{R}^4$ の基は $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\}$、$\mathbb{R}^3$ の基は $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\}$ である。

1. 問題の内容

線形写像 $T$ が与えられたときに、指定された基に関する表現行列を求める。問題は (1) と (2) の2つに分かれている。

(1) $T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ は $T(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} \mathbf{x}$ で与えられ、$\mathbb{R}^3$ の基は $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$、$\mathbb{R}^2$ の基は $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} \right\}$ である。

(2) $T: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ は $T(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & -3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \mathbf{x}$ で与えられ、$\mathbb{R}^4$ の基は $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\}$、$\mathbb{R}^3$ の基は $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\}$ である。

2. 解き方の手順

(1)

1. $\mathbb{R}^3$ の基の各ベクトルを $T$ で写像する。

$T\left( \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$, $T\left( \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 12 \\ 11 \end{bmatrix}$, $T\left( \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix}$

2. 得られた各ベクトルを $\mathbb{R}^2$ の基で表現する。

$\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} = a \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ を解くと $2a+4b=6, 2a+3b=4$ なので $a = -2$, $b = 2.5$。

$\begin{bmatrix} 12 \\ 11 \end{bmatrix} = a \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ を解くと $2a+4b=24, 2a+3b=22$ なので $a = 18$, $b = -3$。

$\begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix} = a \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ を解くと $2a+4b=10, 2a+3b=8$ なので $a = -2$, $b = 3$。

3. 表現行列を作成する。

表現行列は、各写像後のベクトルを$\mathbb{R}^2$の基で表現したときの係数を並べたものになる。

(2)

1. $\mathbb{R}^4$ の基の各ベクトルを $T$ で写像する。

$T\left( \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 9 \\ -1 \\ 5 \end{bmatrix}$, $T\left( \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 11 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix}$, $T\left( \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} -1 \\ -4 \\ 0 \end{bmatrix}$, $T\left( \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 9 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix}$

2. 得られた各ベクトルを $\mathbb{R}^3$ の基で表現する。

$\begin{bmatrix} 9 \\ -1 \\ 5 \end{bmatrix} = a \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + c \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ を解くと $a + b = 9$, $a + c = -1$, $b = 5$ なので $a = 4, b = 5, c = -5$。

$\begin{bmatrix} 11 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix} = a \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + c \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ を解くと $a + b = 11$, $a + c = -1$, $b = 4$ なので $a = 7, b = 4, c = -8$。

$\begin{bmatrix} -1 \\ -4 \\ 0 \end{bmatrix} = a \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + c \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ を解くと $a + b = -1$, $a + c = -4$, $b = 0$ なので $a = -1, b = 0, c = -3$。

$\begin{bmatrix} 9 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix} = a \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + c \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ を解くと $a + b = 9$, $a + c = -2$, $b = 4$ なので $a = 5, b = 4, c = -7$。

3. 表現行列を作成する。

3. 最終的な答え

(1) の表現行列:

$\begin{bmatrix} -2 & 18 & -2 \\ 2.5 & -3 & 3 \end{bmatrix}$

(2) の表現行列:

$\begin{bmatrix} 4 & 7 & -1 & 5 \\ 5 & 4 & 0 & 4 \\ -5 & -8 & -3 & -7 \end{bmatrix}$