次の2次関数の最大値と最小値を求めよ。 (1) $y = (x+1)^2 - 2 \quad (-3 \le x \le 2)$ (2) $y = x^2 - 6x + 3 \quad (0 \le x \le 2)$

はい、承知いたしました。問題の内容、解き方の手順、最終的な答えを順に示します。

1. 問題の内容

次の2次関数の最大値と最小値を求めよ。

(1) $y = (x+1)^2 - 2 \quad (-3 \le x \le 2)$

(2) $y = x^2 - 6x + 3 \quad (0 \le x \le 2)$

2. 解き方の手順

(1)

与えられた2次関数は平方完成された形なので、頂点の座標は $(-1, -2)$ とすぐにわかります。

定義域 $-3 \le x \le 2$ における $y$ の最大値と最小値を求めます。

$x=-1$ は定義域に含まれるので、$x=-1$ のとき最小値 $y = -2$ をとります。

$x=-3$ のとき $y = (-3+1)^2 - 2 = (-2)^2 - 2 = 4 - 2 = 2$

$x=2$ のとき $y = (2+1)^2 - 2 = 3^2 - 2 = 9 - 2 = 7$

よって、最大値は $x=2$ のとき $y=7$。

(2)

$y = x^2 - 6x + 3$ を平方完成します。

$y = (x^2 - 6x) + 3 = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 3 = (x-3)^2 - 6$

したがって、頂点の座標は $(3, -6)$ です。

定義域 $0 \le x \le 2$ における $y$ の最大値と最小値を求めます。

頂点の$x$座標 $x=3$ は定義域に含まれないので、定義域の端の値を調べます。

$x=0$ のとき $y = 0^2 - 6(0) + 3 = 3$

$x=2$ のとき $y = 2^2 - 6(2) + 3 = 4 - 12 + 3 = -5$

定義域内でグラフは単調減少なので、$x=0$ のとき最大値 $y=3$、$x=2$ のとき最小値 $y=-5$ をとります。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 7 ($x=2$のとき)、最小値: -2 ($x=-1$のとき)

(2) 最大値: 3 ($x=0$のとき)、最小値: -5 ($x=2$のとき)