問題は二つあります。 (1) 不等式 $|\frac{x}{6}| = |\frac{x}{2} - 1|$ を満たす実数 $x$ の範囲を求める問題です。 (2) 自然数 $N$ を3進法で表すと4桁の数 $1ab1_{(3)}$ で、5進法で表すと3桁の数 $a0b_{(5)}$ であるとき、$1ab1_{(3)}$ は3進法の数であり、$a0b_{(5)}$ は5進法の数である。$a$ と $b$ の範囲、$N$ を10進法で表した式、連立方程式から $a, b, N$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は二つあります。

(1) 不等式 $|\frac{x}{6}| = |\frac{x}{2} - 1|$ を満たす実数 $x$ の範囲を求める問題です。

(2) 自然数 $N$ を3進法で表すと4桁の数 $1ab1_{(3)}$ で、5進法で表すと3桁の数 $a0b_{(5)}$ であるとき、$1ab1_{(3)}$ は3進法の数であり、$a0b_{(5)}$ は5進法の数である。$a$ と $b$ の範囲、$N$ を10進法で表した式、連立方程式から $a, b, N$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 絶対値の不等式 $|\frac{x}{6}| = |\frac{x}{2} - 1|$ を解きます。

まず、$|\frac{x}{6}| = |\frac{x}{2} - 1|$ より、$\frac{x}{6} = \pm (\frac{x}{2} - 1)$ です。

$\frac{x}{6} = \frac{x}{2} - 1$ のとき、$\frac{x}{2} - \frac{x}{6} = 1$ となり、$\frac{3x-x}{6} = 1$ より $\frac{2x}{6} = 1$、つまり $\frac{x}{3} = 1$ なので、$x = 3$ です。

$\frac{x}{6} = -\frac{x}{2} + 1$ のとき、$\frac{x}{6} + \frac{x}{2} = 1$ となり、$\frac{x+3x}{6} = 1$ より $\frac{4x}{6} = 1$、つまり $\frac{2x}{3} = 1$ なので、$x = \frac{3}{2}$ です。

したがって、$x = \frac{3}{2} = 1.5$ と $x = 3$ です。問題文より $1 \le x < 2$ なので、$1 \le x < 2$を満たすのは$x = \frac{3}{2}$ だけです。

(2) $N = 1ab1_{(3)} = a0b_{(5)}$ について考えます。

まず、$1ab1_{(3)}$ は3進法の数なので、$0 \le a \le 2$ かつ $0 \le b \le 2$ が成り立ちます。$a0b_{(5)}$ は5進法の数なので、$0 \le a \le 4$ かつ $0 \le b \le 4$ が成り立ちます。

問題文より、$3 \le a \le 2$ と $4 \le b \le 2$ となっているので、これは $0 \le a \le 2$ と $0 \le b \le 2$ の誤りでしょう。

$N = 1ab1_{(3)} = 1 \times 3^3 + a \times 3^2 + b \times 3^1 + 1 \times 3^0 = 27 + 9a + 3b + 1 = 28 + 9a + 3b$

$N = a0b_{(5)} = a \times 5^2 + 0 \times 5^1 + b \times 5^0 = 25a + b$

したがって、$28 + 9a + 3b = 25a + b$ が成り立ちます。

$28 = 16a - 2b$

$14 = 8a - b$

$b = 8a - 14$

$0 \le a \le 2$ かつ $0 \le b \le 2$ なので、$a = 2$ のとき、$b = 8(2) - 14 = 16 - 14 = 2$ となり、条件を満たします。

$a = 1$ のとき、$b = 8(1) - 14 = -6$ となり、条件を満たしません。

$a = 0$ のとき、$b = -14$ となり、条件を満たしません。

したがって、$a = 2$ かつ $b = 2$ です。

$N = 25a + b = 25(2) + 2 = 50 + 2 = 52$

3. 最終的な答え

(1) 1: 1, 2: 2 (1.5 なので $1 \le x < 2$ に当てはまる)

(2) 3: 0, 4: 0 (元の問題では $3 \le a \le 2$ と $4 \le b \le 2$ となっており、矛盾しているので、本来は $0 \le a \le 2$と$0 \le b \le 2$である)

5: 28, 6: 9, 7: 3, 8: 1

9: 25, 10: 0

11: 8, 12: 14, 13: 0

14: 2, 15: 2

16: 52, 17: 0